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文档简介

等比数列【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d7，an98代入ana1(n1)d中，有987(n1)7解得n14答 100以内有14个能被7整除的自然数【例2】 在1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列解 设这五个数组成的等差数列为an由已知：a11，a5771(51)d 解出d2所求数列为：1，1，3，5，7插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项【例4】 在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解 设an=3n，bm4m3，n，mN得n4k1(kN)，得an，bm中相同的项构成的数列cn的通项cn12n3(nN)则在1000，2000内cn的项为84123，85123，166123n166841=83 共有83个数【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数解 设三个数分别为xd，x，xd解得x5，d2 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：bc，ca，ab也成等差数列证 a、b、c成等差数列2b=ac(bc)(ab)a2bca(ac)c2(ac)bc、ca、ab成等差数列说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2bac的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=ac本例的意图即在让读者体会这一点可能是等差数列分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法证 假设a、b、c是等差数列，则2b=ac2acb(ac)=2b2，b2ac又 a、b、c不为0， a、b、c为等比数列，又 a、b、c为等差数列， a、b、c为常数列，与ab矛盾， 假设是错误的 a、b、c不可能成等差数列【例8】 解答下列各题：(1)已知等差数列an，an0，公差d0，求证：对任意kN，关于x的方程akx22ak+1xak+20有一公共根；分析与解答(1)akx22ak+1xak+20an为等差数列，2ak+1akak+2akx2(akak+2)xak+20(akxak+2)(x1)=0，ak0an为等差数列，d为不等于零的常数(2)由条件得 2b=ac4RsinB2RsinA2RsinC，2sinBsinAsinC分析至此，变形目标需明确，即要证由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有【例9】 若正数a1，a2，a3，an+1成等差数列，求证：证明 设该数列的公差为d，则a1a2=a2
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