高中数学 向量 板块三 平面向量的数量积完整讲义（学生版）

学而思高中完整讲义：向量.板块三.平面向量的数量积.学生版典例分析题型一：数量积运算【例1】 已知向量，若，则（ ） A B C D【例2】 已知，与的夹角为，求；【例3】 已知向量与的夹角为，且，那么的值为 【例4】 若、为任意向量，则下列等式不一定成立的是（ ）A BC D【例5】 等边的边长为，则 【例6】 设是单位向量，且，则的最小值为（ ）A B C D【例7】 如图，在中，是边上一点，则等于（ ）A B C D【例8】 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）A BC D【例9】 若向量,满足，与的夹角为，则（）A B C. D2【例10】 直角坐标平面上三点、，若为线段的三等分点，则 题型二：向量求模【例11】 已知，且 求的值；求的值【例12】 在中，已知，求【例13】 已知，与的夹角为120，求：；【例14】 已知向量，若与垂直，则 【例15】 已知向量，若与垂直，则（ ）AB CD【例16】 已知向量，则（ ）A B C D【例17】 已知与的夹角为，那么等于（ ）A2 B C6 D12 【例18】 设是边长为1的正三角形, 则= . 【例19】 已知，和的夹角为，则为 （ ）ABCD【例20】 已知平面向量，若，则_【例21】 已知，是非零向量，且，夹角为，则向量的模为 【例22】 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )A. B. C. D.【例23】 在ABC中，已知 (1)求AB边的长度；(2)证明：；(3) 若,求题型三：向量求夹角与向量垂直【例24】 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角【例25】 ，且，则向量与的夹角为（ ）ABCD【例26】 设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围 【例27】 已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围 。【例28】 给出命题： 在平行四边形中，.在中，若，则是钝角三角形.，则 以上命题中，正确的命题序号是 【例29】 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角【例30】 已知，且，则 【例31】 在中，求值【例32】 （2020重庆）与向量，的夹角相等，且模长为的向量是（ ）A B或 C D或【例33】 已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ；【例34】 已知，且与垂直，求与的夹角。【例35】 若非零向量、满足，证明:【例36】 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值【例37】 已知为的三个内角的对边，向量若，且，则角的大小分别为（ ）AB C D,【例38】 已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为 A B C D【例39】 在ABC中，a，b，c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（ ）A. B. C. D. 【例40】 已知(1, 3)，(2, 1)，若(k)(2)，则k 【例41】 内有一点,满足,且.则一定是（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形【例42】 已知点和，试推断能否在轴上找到一点，使？若能，求点的坐标；若不能，说明理由【例43】 设，点上线段上的一个动点，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【例44】 设平面内的向量，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.【例45】 设平面上向量与不共线， （1） 证明向量与垂直（2） 当两个向量与的模相等，求角【例46】 已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.【例47】 为非零向量，当的长度取最小值时 求的值； 求证：与垂直【例48】 己知向量，与的夹