高中数学 概念图在教学中的运用探讨素材 新人教A版必修1

概念图在数学教学中的运用探讨摘 要：概念图是盛行于欧美国家的一种教学策略，它以直观形象的表现方式表征知识，能有效呈现思维的过程及知识的关联，引导学生进行意义建构。本文首先对概念图的相关知识进行了论述，然后系统地阐述了概念图应用于高中数学教学的理论、原则和必要性，最后对概念图能有效提高高中数学教学和学习效果进行了论述。总之，概念图能有效促进学生学会学习，在提高数学成绩方面以及提高数学教学质量方面具有积极的意义。关键词：概念图；数学；教学；运用；探讨；目 录）概念图是用图示的方式来呈现知识结构，展示概念之间的各种关系。在构思概念图时需要对知识融会贯通，因为概念图能提高对概念的理解及对整体意义的把握。概念图作为一个很好的学习工具，体现了学生学习的积极性和自主性。因此，我们必须学会和掌握概念图。一、概念图的研究综述（一）概念图的基础知识概念图作为一种教与学的策略，能辅助教师进行教学设计和帮助学生更好地认知。下面将对概念图的含义、要素、图标结构以及概念图的类型做简要的介绍。1概念图的含义概念图又可称为概念构图（concept mapping）或概念地图（concept maps）。前者注重概念图制作的具体过程，后者注重概念图制作的最后结果。现在一般把概念构图和概念地图统称为概念图，而不加以严格的区别。概念图是用来组织和表征知识的工具，它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中，然后用连线将相关的概念和命题连接，连线上标明两个概念之间的意义关系。2概念图的要素概念（concepts）、命题（propositions）、交叉连接（cross-links）和层级结构（hierarchical frameworks）是概念图的四个要素。谢华.概念图及其在数学教学中的实践与探索M.浙江:浙江师范大学出版社,2005:89.首先，概念是感知到的事物的规则属性，通常用专有名词或符号进行标记。其次，命题是对事物现象、结构和规则的陈述，在概念图中，命题是两个概念之间通过某个连接词而形成的意义关系。再次，交叉连接表示不同知识领域概念之间的相互关系。最后，层级结构是概念的展现方式，具体来说有两个方面：一是指同一知识领域内的结构，即同一知识领域中的概念依据其概括性水平不同分层排布，概括性最强、最一般的概念处于图的最上层，从属的放在其下，具体的事例位于图的最下层；二是不同知识领域间的结构，即不同知识领域的概念图之间可以进行超链接。某一领城的知识还可以考虑通过超级链接提供相关的文献资料和背景知识。3概念图的图表结构概念图的图表结构包括节点（又称结点）、连线和连接词三个部分。节点就是置于圆圈或方框中的概念。朱学庆.概念图的知识及其研究综述J.上海教育科研，2002,(4):16.连线表示两个概念之间的意义联系，连接可以没有方向，也可以单向或双向。位于上层的概念通常可以引出好几个知识分支，不同知识领域或分支间概念的连线就是交叉连接（又称横向联系），交叉连接常常形成方向性意义，也是产生创造性思维的关键之处。连接词是置于连线上的两个概念之间形成命题的联系词。如“是”、“包括”、“表示”等。通过节点、连线和连接词，按一定的顺序将概念关联起来，便形成了命题，如图1所示。4444命 题节 点连 线连 接 词节 点概念图的构 成图1 概念图的构成4概念图的类型按照结构即展示信息的不同形式划分，可以将概念图划分为以下四种类型：（1）蜘蛛网概念图：把主题放置中心或把各个因素统一与概念图中心的组织结构，次主题围绕概念图中心向外辐射，如图2所示。重要数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集图2 蜘蛛网型概念图（2）层级概念图：根据主题重要性的递减顺序由上至下地呈现信息，最重要的信息通常置于顶端位置，如图3所示。集合元素的特征确定性互异性无序性图3 层次型概念图（3）流程型概念图：以线性方式组织信息，如图4所示。任意负角的三角函数利用诱导公式三或一转化成任意正角的三角函数利用诱导公式一转化成0到的360角的三角函数利用诱导公式二或四或五转化成锐角的三角函数图4 流程型的概念图（4）系统型概念图：组织信息的形式类似流程图，但增加了“输入”和“输出”，如图5所示。正弦、余弦的诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五应 用图5 系统型概念图（二）概念图的研究现状国内、外的教育研究者开展了许多关于概念图在学科教育的应用价值性的研究。概念图是20 世纪60 年代由美国康奈尔大学诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的。而这一名词的确定却在80 年代，并将概念图用于教与学中，取得了很好的教学效果。研究者（Wandersee,1990）发现，这一结果用奥苏伯尔的有意义学习理论可以得到很好的解释。除此之外，关于这方面的研究还有很多，如美国的科学教育研究杂志在1990 年第四季度专门出版了一起“概念图面面观”。朱学庆.概念图的知识及其研究综述J.上海教育科研,2002,(10):31.概念图现已成为西方国家教与学中探讨的一个热点和前沿性课题。概念图被引入中国已经是20世纪末，自国内学者1999 年第一次引进概念图以来，概念图就被当作是一种有效的工具，从而应用于各个领域，如学科教与学、远程教学系统及网络课程的开发、计算机、电子信息技术等等。其主要的应用领域是：教与学领域、非教育学领域、教育评价领域和其它领域等。在学科教与学中，目前主要是应用于概念较多的课程，如生物、化学、物理，而在英语、数学、计算机等其他概念相对少的学科教学中应用较少。二、高中数学应用概念图教学的理论和原则（一）高中数学应用概念图的理论基础1有意义的学习理论意义学习就是将新的知识融合于已有认知结构，新旧知识相互联系的过程，而概念图是一种能够表示知识体系中概念与概念之间固有的联系以及与学习者认知结构中已有的概念相互的联系的工具。杨亮涛.利用概念图促进知识建构的研究M.上海:华东师范大学出版社,2005:69.学习者必须自己发现知识的意义，并将它纳入原有的认知结构中，融会贯通。2建构主义学习理论建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学生在一定的情景中，借助他人的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。此外，建构主义学习理论认为，学生是知识意义的主动建构者，是信息加工的主体，而不再是被动的接受者和知识的灌输对象；教师不应该是知识的传授者和知识的灌输者，而应该是为学生主动建构知识的帮助者、促进者和指导者。所以，在绘制概念图的过程中学生经历了：整理资料整合知识形成某主题的己有知识图在已有知识结构中纳入新概念在长时记忆系统中固定学习内容修正并完善。概念节点、关系连线、层级结构、命题与实例能使知识内容轻松凸现、让学生书越读越薄。3结构性知识理论结构性知识也称理性知识，是指某一领域内各概念是如何相互关联的知识。结构性知识不仅将陈述性知识整合成有用的知识结构，还描述了个体对不同内容领域概念的知识结构，这样有助于理解知识的内容和促进先前知识的运用。学生清晰认识和独立描述某一领域内各概念间的关联关系的能力，是先前知识的基本组成部分。而结构性知识描述了先前知识是如何相互联系的，有助于帮助学生深入理解知识间的关系。就知识的表现而言，概念图非常直观形象地表现了由事实、概念、命题以及原理构成的知识4整体呈现理论把握问题的整体结构，在整体结构中发现关键部分，对其进行聚焦，但要注意勿将这一部分与其他部分隔离。在这样的认识基础之上，就形成了一个全新的、深邃的结构观。而在对整体问题产生全面一致的印象的同时，对局部成分如何构成整体结构也有了深刻认识。概念图从整体上表现了某一领域中的各个组成部分。 5知识本质理论认知心理学认为，知识的本质在于概念和命题之间的内在联系。在认知心理学研究领域，概念被视作具有某种或某些共同属性和特征的事物的复合词。概念是用以组织知识的基本单位，命题是指能够被作为一个独立判断的最小知识表征单元，是思维活动的基本意义单元。在知识系统中，概念是构成和联结知识的“节点”，命题是表示两个概念间的关系。而概念与命题的框架赋予了学习过程（包括实验过程）以意义。概念图作为一种元认知工具，将传统教学所导致的机械学习转变为有意义的学习建构。（二）高中数学教学应用概念图的原则在高中数学课中应用概念图的基本原则有以下几个方面：1有利于提高学生的信息素养和综合能力概念图应用于高中数学课的目的是让学生掌握一种有效的学习工具，一种好的学习方法，促进其他学科的学习，培养学生终身学习的愿望和能力，帮助学生形成良好的数学知识结构，从而帮助学生有效地记忆知识、迁移知识进而形成解决问题的能力，促进学生从“学会”达到“会学”的境界。2注意激发学生学习数学的积极性在应用概念图教学的时候，要注意形式的多样化，强调一种和谐的的学习氛围，促进学生学习数学的积极主动性。3注意概念图是没有所谓的“标准答案”不同的学生，对知识理解的程度不同，选择解决问题的切入点不同，表现知识的侧重点和呈现概念图的方式不同，绘制的概念图也就不同。因而，概念图用于数学教学中不能注重答案的标准性。4制作概念图要注重师生、生生的互动确定中心主题是概念图教学的一个关键环节。所以，要找准构建概念图的中心主题，教师的正确引导是非常重要的，学生间的交流与合作有利于促进学生的高级认知，有利于学生健康情感的培养。 三、概念图应用于高中数学教学的必要性众所周知，概念是数学知识的基础，帮助学生掌握完整系统的科学概念是教学的主要任务之一。在数学教学中，只有让学生清楚、准确地理解数学概念，才能使学生深刻认识到数学的本质。数学教材中包含的知识点非常庞杂，且前后联系非常紧密，需要对知识的精致的组织才能有效地保持记忆和进行合理应用。虽然高中数学知识结构很清晰，比如：目前高中课本的第一章的内容是集合，第二章是函数，第三章是数列。但每一章中的分支很多，比如第一章集合分了两大节，每一节又各分几小节。数学知识结构就像一棵枝繁叶茂的大树，依此某些次级学科可以相应地标记为树枝，树干、嫩枝。而概念图的结构方式与数学知识的结构方式极为相似：将概念图的模式设置成树形，其组织结构也就如一棵树，顶端部分是代表概念图的主题的主干，从主干分出的树枝，即一条条用于表示与主题相连的各种概念。因此，数学对象之间的关系可以采用与数学中的组织结构相对应的概念图的形式表示，更加形象化。此外，正如希尔伯特所说：“数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命正在于各个部分的联系。的确，数学最为迷人之处是不同分支之间有许多相互影响，预想不到的联系有时会奇迹般的展现在你的面前。”因此，在数学学习中注重用概念图的方式表征概念间的联系，有助于培养学生的创新思维。 （一）有助于提高高中数学教师的教学技能在教学设计的过程中利用概念图的结构性特征，数学教师可以根据教学计划更为有效地制订详细的课程授课计划和教学进度计划，在教师掌握了教材的知识结构和体系后,教师可以采用绘制概念图的形式构建教学过程图形。首先，在绘制概念图的过程中，需要教师对整个教学内容非常熟悉，能够筛选出教学内容的关键概念，并确立概念间的联系，可以提高教师分析，处理教材的能力，从而提高教学质量。其次，教师在绘制概念图的过程中，需要思考绘制概念图的相关概念有哪些、这些概念间的联系是什么、教学内容与先前学习的知识有哪些联系、新旧知识是如何联系、如何整合这些知识，以及如何帮助学生有效的学习等。最后，教师在备课的过程中，采用绘制概念图的形式备课，可以促成教师在脑中形成整体的观念，从而对教学内容更为有效地整合，使得整个教学过程和流程设计更加的系统和流畅。（二）有利于提高教师的逻辑思考能力和自我反思能力在制作概念图过程中，教师必须采用各种分析方法，如分析与综合、归纳和演绎、比较和分类、判断和推理等逻辑方法和手段，找到中心概念和相关概念及相互之间的联系，从而可以有针对性地形成正确完整的知识结构和体系。在制作过程中，教师需要不断的反思自己备课的过程，在决定概念图的层级结构过程中，教师需要反思自己在搜索己有概念、把握知识特点、联系和产出新知的能力；在列举具体事例时，要反思自己对概念意义的理解是否清晰，是否具有广阔性等等。（三）概念图用于高中数学教学可以促进交流概念图可以用作人们讨论概念和概念之间关系的交流工具，它以一种二维图形的方式展现我们的知识和思想。教师可以利用概念图组织小组讨论，小组讨论是开展研究性学习的一个必要环节。而在实践教学中，学生讨论往往容易跑题。所以，通过合作绘制概念图，有助于小组成员间围绕主题开展讨论，避免跑题，提高小组讨论的效率；另外，小组成员通过共建概念图，发表各自不同的见解，相互协商讨论，在讨论中，学生可以放松思想，从不同角度、不同层次、不同方位，大胆地展开想象，尽可能地标新立异、与众不同，提出独创性的想法，因此在这个过程中，学生可以扩大自己的知识面。此外，概念图用于教学可以促进同学之间的相互理解以及彼此沟通能力的加强。四、概念图在高中数学教学中的应用方向与实际操作概念图应用于高中数学教学，要对实际的教学目标、教学内容、教学对象、教学时间、教师的自身条件进行充分的思考，认真思考比较其他教学策略应用效果，进行择优。（一）概念图在高中数学教学中的应用方向1在课程教学前在课程教学前，教师绘制一份学年计划概念图，用来理清整个学期的教学思路，考虑教学内容的先后安排，作为整个学期教学的导航。这样一份图示也可以作为学生学习的导引，帮助学生对整个学期的数学学习状况做个详细的了解。以高中数学必修（一）为例，如图6所示。高中数学第一册集 合集 合含绝对值的不等式解法子集、全集、补集简易逻辑逻辑联接词集合与简易逻辑四种命题充分条件与必要条件函 数函 数指数与指数函数对数与对数函数函数的表示法函数的单调性反函数指 数指数函数对 数对数函数函数的应用图6 高中数学必修（一）知识结构概念图2在进行教学设计的过程中在进行教学设计的过程中，教师绘制课时概念图将教学内容简明扼要地呈现出来，概念图良好的层次结构可以帮助教师理清教学顺序，使整个教学设计直观，清晰，便于教师进行有效教学。以高中数学必修（一）的第一章为例，如图7所示。第一章：集合与简易逻辑七 课 时八 课 时集 合简 易 逻 辑三 课 时三 课 时子集、全集、补集含绝对值不等式的解法一 课 时小 结两 课 时三 课 时两 课 时逻辑联接词四种命题充分条件与必要条件小 结一 课 时图7 高一第一学期学时计划图的部分图3在进行课堂教学的过程中在进行课堂教学的过程中，教师呈现出设计好的板书概念图。因为概念图可以将教学内容简明扼要地呈现出来，其良好的层次结构可以帮助自己以及学生理清学习顺序，对前后概念有个直观的和清晰的理解，从而从整体上把握学习内容。以高中数学必修（一）的第二章为例，如图8所示。对数知底和幂值求指数是 一 种运 算知底和指数求b=logaNa0,且a1,N0ab =Na0,且a1定义若ab =Na0,且a1则称 b是以 a为 底N的对 数记作b=logaNa0,且a1,N0性质性质1性质2性质3负数和零没有对数，N0loga a=1，a0,且a1loga 1=0，a0,且a1与指数也是一种关 系指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同的形式图8 “对数”第一课时概念图4在教师进行课后反思的过程中在教师进行课后反思的过程中，对之前的概念图进行修改，培养教师的反思能力，提高教师的教学水平。在教师进行一段时间的教学后，将之前修改的概念图进行整合修改，有利于提高教师的发散思维能力。并在章末小结课上采用概念图进行教学，即采用互动的课堂讨论的形式进行教学，以学生为主体，教师作为引导，可以促进师生间的交流。（二）概念图在高中数学教学中的实际操作要在高中数学教学中应用概念图，必须由上而下，只有教师先掌握概念图的使用，并在课堂上给予呈现，学生才能得到学习的机会。因此，下面主要论述我在高中数学教学中是如何运用概念图进行教学的。以下是我的教学过程：1导入新课材料一： 一根米长的绳子，第一次剪掉绳子的一半，第二次剪掉剩余绳子的一半剪了x 次后剩余绳子的长度为y米。试写出x和y的函数关系。材料二：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么? 通过这两个材料，让学生寻找解决问题的途径。他们会发现以他们现有的水平解决不了这个问题。然后告诉他们这是一种新的运算, 解决这两个问题的关键就是引入“指数”这个概念。2指数函数的含义下面我们一起来看看这两个材料是如何运算的。材料一的过程： 剪的次数 剩余绳子的长度 1 0.52 0.25 3 0.125 所以y与x的函数为：材料二的过程：如图9所示。2 12 22 3经过x分裂后，得到细胞的个数y与x的函数关系是什么？.2 xy= 2 x2 0图9 某种细胞分裂时的情况从上面的两个材料中我们可以看出，像这样的y= （0.5） x或者y= 2 x中，指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量。我们把这种自变量在指数位置上，而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数。指数函数的定义：一般地，函数y=a x(a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。3指数函数的图像和性质（1）指数函数的图像，如图10所示。a10a0时，y1;x0时，0y1）x0时，0y1;x1（0a1）在R上是减函数（0a1）图11 指数函数的性质4概念图用于指数函数教学的结果通过用概念图进行教学，我处理、分析教材的能力有了很快的提升，备课的效率也有很大的提高。概念图在指数函数这一节中的运用，有效地促进学生认知方式的改变，增强了学习兴趣、有利于学生自主学习，切实地提高学生的学习成绩，能帮助学生养成独立思考，自主学习的好习惯。综上所述，概念图教学策略体现了学生在学习中的主体地位，在学生掌握概念图知识之后，使用概念图教学策略的课堂中，教师不再主宰课堂中的一切，学生也不再是被动地接受知识，而是积极地参与到概念图的构建中，主动地将课本里的知识进行分析、加工、处理和表达，教师只需要进行引导和解疑的工作。在此过程中学生成为信息获取、加工和知识意义建构的主体，而不再是简单的知识灌输对象，这大大的提高了学生学习数学的积极性和主动性。相信随着时间的推移，概念图用于高中数学教学中的效果会更加明显。参考文献1谢华.概念图及其在数学教学中的实践与探索M.浙江:浙江师范大学出版社,2020.2朱学庆.概念图的知识及其研究综述J.上海教育科研,2002,(10).3詹黎.利用概念图促进概念转变的教学模式研究M.浙江:浙江师范大学出版社，2020.4张丽萍,吴淑花,何琪.我国概念图研究概览J.现代教育技术,2020,(5).5钟志贤.信息化教学模式M.北京:北京师范大学出版社,2020.6裴新宁.概念图及其在理科教学中的应用J.全球教育展望，2001,(8).7王丽霞.支持建构主义学习环境的概念图的设计与应用研究M.上海:华东师范大学出版社，2001.8中华人民共和国教育部制订.数学课程标准M.北京:人民教育出版社，2020.9人民教育出版社.中学数学.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上、下)M.北京:人民教育出版社,2020.10王兄,汤服成.概念图及其在数学学习中的现实意义J.数学教育学报，2020.11杨亮涛.利用概念图促进知识建构的研究M.上海:华东师范大学出版社,2020.12罗增儒,李文铬.数学教学论M.西安:陕西师范大学出版社,2020.The Concept Diagram Inquires into in The Usage in Mathematics TeachingAbstract :The concept diagram is a kind of teaching strategy that is more widely acc