高中数学 第1课时几何证明选讲试题精选 新人教A版选修4-1

1如图，已知在ABC中，CDAB于D点，BC2BDAB，则ACB_.解析：在ABC与CBD中，由BC2BDAB，得，且BB，所以ABCCBD.则ACBCDB90.答案：902如图，已知在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC6，DB5，则AD的长为_解析：在RtABC中，ACB90，CDAB，AC2ABAD.设ADx，则ABx5，又AC6，62x(x5)，即x25x360.解得x4或x9(舍去)，AD4.答案：43如图所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC等于_解析：设正方形边长为x，则由AFEACB，可得，即，所以x，于是.答案：4如图，平行四边形ABCD中，AEEB12，AEF的面积为6，则ADF的面积为_解析：由题意可得AEFCDF，且相似比为13，由AEF的面积为6，得CDF的面积为54，由题意易知SADFSCDF13，所以SADF18.答案：185如图，ABC中，BAC90，AB4 cm，AC3 cm，DEBC且DE把ABC的周长分为相等的两部分，则DE_.解析：BAC90，BC5 cm.设ADx cm，AEy cm，则xy6.DEBC，得，即.由得x，y，DE cm.答案： cm6在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，则CD为_解析：BACADC，CC，ABCDAC，CD4.答案：47如图，已知在梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC和BD相交于点P，(1)若AP长为4，则PC_；(2)ABP和CDP的高的比为_解析：(1)ABCD，APBCPD，即，解得PC12.(2)由(1)及ABP和CDP的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为13.答案：(1)12(2)138(2020广东卷)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_.解析：连接DE，由于E是AB的中点，故BE.又CD，ABDC，CBAB，四边形EBCD是矩形在RtADE中，ADa，F是AD的中点，故EF.【答案】9如图，已知ADEGBC，AD6，BC9，则GF的长为_解析：ADEGBC，.，.又AD6，BC9，EF2，EG6，GFEGEF4.答案：410如图，在直角梯形ABCD中，上底AD，下底BC3，与两底垂直的腰AB6，在AB上选取一点P，使PAD和PBC相似，这样的点P有_个解析：设APx，(1)若ADPBPC，则，即，所以x26x90，解得x3.(2)若ADPBCP，则，即，解得x，所以符合条件的点P有两个答案：两11如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：AEABAFAC.证明：ADBC，ADB为直角三角形，又DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得AD2AFAC，AEABAFAC.12如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AEBF2DEAF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AEBF2DEAF.13如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P为AD上一点，CFAB，BP延长线交AC，CF于E，F，求证：PB2PEPF.证明：如图，连结PC，易证PCPB，ABPACP.CFAB，FABP，从而FACP，又EPC为CPE与FPC的公共角，从而CPEFPC，PC2PEPF，又PCPB，PB2PEPF.14已知：在RtABC中，ACB90，M是BC的中点，CNAM，垂足是N，求证：ABBMAMBN.证明：CM2MNAM，又M是BC的中点，BM2MNAM，又BMNAMB，AMBBMN，ABBMAMBN.15如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，底边BC上的高AD10 cm，腰AC上的高BE12 cm.(1)求证：；(2)求ABC的周长.解析：(1)证明：在ADC和BEC中，ADCBEC90，CC，ADCBEC，.AD是等腰三角形ABC底边BC的高线，BC2BD，又ABAC，.(2)设BDx，则ABx，在RtABD中，ADB90，根据勾股定理，得AB2BD2AD2，2x2102，解得x7.5.BC2x15，ABACx12.5，ABC的周长为40 cm.16如右图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD.(2)若AB4，BAE30，AD3，求BF的长解析：(1)证明：ABCD，BAFAED.又BFEC，BFEBFACEDA，BFAADE.ABFEAD.(2)AE，又，BFAD.17如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.(1)求证：OEOF；(2)求的值；(3)求证：.解析：(1)证明：EFAD，ADBC，EFADBC.EFBC，.EFADBC，.，OEOF.(2)OEAD，.由(1)知，1.(3)证明：由(2)知1，2.又EF2OE，2，.18一块直角三角形木板，如图所示，C90，AB5 cm，BC3 cm，AC4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长解析：如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为x cm，过点C作CMAB于M，交DE于N，因为SABCACBCABCM，