高中数学 考前归纳总结 立体几何常见题型与解法

立体几何常见题型与解法一、求空间角问题1异面直线所成的角 设异面直线的方向向量分别为。则与所成的角满足对应的锐角或直 角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。OAP2线面所成的角设直线的方向向量与平面的法向量分别为，则直线的方向向量与平面所成角满足。3二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小为,若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角； 即：;当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。 即：; 图（1） 图（2）例1：在棱长为的正方体中，分别是的中点，（1）求直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成角的余弦值； 解：（1）如图建立坐标系，则ABCDEFGxyz ， 故所成角的余弦值为。（2） 所以在平面内的射影在的平分线上， 又为菱形，为的平分线， 故直线与平面所成的角为， 建立如图所示坐标系，则， ， 故与平面所成角的余弦值为（3）由， 所以平面的法向量为下面求平面的法向量， 设，由， ， ，所以平面与平面所成角的余弦值为。例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD， AB= 2AD =2CD =2E是PB的中点 （I）求证：平面EAC平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值为， 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD2，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，DACEPBxyz AC平面EAC，平面EAC平面PBC （）如图，以C为原点，、分别为x轴、 y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)（a0），则E(，)，(1，1，0)，(0，0，a)，(，)，取m(1，1，0)，则mm0，m为面PAC的法向量设n(x，y，z)为面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2于是n(2，2，2)，(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，n|， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为例3：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E， F分别CD、PB的中点. （）求证：EF平面PAB；（）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。 （）证明：建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=PD=1，AB=（），ABCDEFxyzP 则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), . 得，. 由，得， 即， 同理，又， 所以EF平面PAB. （）解：由，得，即. 得，. 有，. 设平面AEF的法向量为， 由， 解得. 于是. 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为. 则. . 所以，AC与平面AEF所成角的正弦值为. 二、探索性问题例4如图，在直三棱柱中，（1）求证（2）在上是否存在点使得（3）在上是否存在点使得CABxDyZ解：直三棱柱，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别 为轴轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， （1）， （2）假设在上存在点，使得，则 其中，则，于是， 由于，且 所以得， 所以在上存在点使得，且这时点与点重合。（3） 假设在上存在点使得， 则其中 则， 又由于， 所以存在实数成立， 所以，所以在上存在点使得，且使的中点。三、范围问题例5.如图，在梯形中，四边形 为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与 平面所成二面角的平面角为 ，试求的取值范围.（1）证明：在梯形中， ,， 平面平面,平面平面, 平面 平面 （2）由（1）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标 系，令，则， 设为平面的一个法向量， 由 ， 联立得 ， 取，则 是平面的一个法向量 当时，有最小值， 当时，有最大值. 四、折叠问题 例6。在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）.将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （1）求证：A1E平面BEP； （2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （3）求二面角BA1PF的余弦值. 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 . (1)在图1中，取BE的中点D，连结DF AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=600,ADF是正三角形， 又AE=DE=1，EFAD 在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1-EF-B的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE 又BEEF=E，A1E平面BEF，即A1E平面BEP (2)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0), 则, 设平面ABP的法向量为， 由平面ABP知，即 令，得， , , 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600(2) ，设平面AFP的法向量为 由平面AFP知，即 令，得， , 所以二面角B-A1P-F的余弦值是 五、用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 A到平面的 距离为； 例7、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1BC1； （II）求点B到平面AB1C1的距离;（III）求二面角C1AB1A1的大小5解：（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0），B（0，2