高中数学 考前归纳总结 不等式中的易错题剖析

不等式中的易错题剖析 1、已知：、都是正数，且，求的最小值。错解：、都是正数， ，即的最小值为4。正解：、都是正数，且， 当且仅当时，的最小值为。 剖析：中等号成立的条件是当且仅当，而 中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾， 因此解题中忽视了条件，从而造成错误。2、已知二次函数满足，求的取值范围。错解：， 又 正解：设，则有，即 又， ， 剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大， 因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。3、已知，求的最大值。错解： ，即的最大值为。 正解1： 因此，当且仅当时，的最大值为。 正解2：（用导数知识解）， ，令，得或 又，且当时，；当时， 当时，的最大值为。 剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、 三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式 都不成立。4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。错解： 正解：因为关于的不等式的解集是，所以，故 或 故原不等式的解集是。 剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正 确解法。5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小： 例题1、若, 则关于的不等式的解集是 . 错解：或 正解: 或 剖析: 错解中解集没写成了不等式的形式；也没搞清和的大小关系。6、解不等式.错解一：原不等式可化为， 解得x2 原不等式的解集是x|x2. 错解二：在不等式f(x)0中，按f(x)的取值情况分类， 有，或 当，即时，原不等式等价于，解得x 2； 当，即时，显然无意义，其解集为 综上所述，原不等式的解集为x|x 2正解一：原不等式可化为(I)(x-1) 0，或() (I)中,由得x 2； ()中，由，或x 1 = O， 且有意义，得x = 1，或x = 2 原不等式的解集为x|2，或x = - 1正解二：分两种情况讨论 （1） 当，即x 2，或x 2 (2) 当，即x = 2，或x = - 1时， 显然有意义，是原不等式的解 综上所述原不等式的解集是x|x2，或x = - 1剖析：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解原因是 忽略了不等式中“”具有相等与不相等的双重性事实上， 不等式f(x)0与或g(x) = 0同解. 错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况 即当x l ”“ = ”合成的，故不等式可转 化为f(x) 0或f(x) = 0 （2）在不等式中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况： （i)g(x) 0时,等式等价于(ii)g(x) = 0时只须f(x)有意义即可.7、设函数，其中，解不等式 错解：不等式f(x)1，1 + ax两边平方，得x2 + 1(1 + ax)2 , 即x(a2 - 1)x + 2a0又， 当a 1时，x 0，或x -； 当0 a 0 原不等式等价于不等式组即 当0 a 0 可得x0小结：解不等式常见的思维误区有：（1）概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等.（2）以偏概全，未