辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 张明凯加密算法

辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 张明凯加密算法摘要:近300年的时间中，数不清的职业或业余数学家在证明哥德巴赫猜想，但是始终没有证明完整。哥德巴赫猜想看似很难，其实看似更无聊，好像一点实际意义都没有。但是，现在的数学发现有时会领先各个领域的发展，但是终将导致全新学科的发展。数学家研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。而我，恰好不是数学家。本加密算法的核心是在假设哥德巴赫猜想成立的条件下衍生出的一套独立的算法，其真伪性等同于哥德巴赫猜想。在本篇论文的写作过程中，很多过程都用到了“大卡”（也就是卡西欧fx-CG 20，由于比其它卡西欧计算器都大,以此得名）。拆分数的时候，卡西欧计算器给与了我极大的帮助。本加密算法的核心张明凯拆分方程，目前已经设计出了计算器版本，只要在“大卡”中输入数据，便可以随时随地完成加密工作。此外，拆分方程还可以用来数据储存，其效率远超现有的储存方法可以成百上千倍的压缩文件，但是解码难度过高，不过用于电子认证却非常合适。由于本算法先假设哥德巴赫猜想成立，所以一旦有一天，哥德巴赫猜想被证明或是举出反例，本算法就是去了安全性。但是，我相信这一天不会马上到来。 关键词哥德巴赫猜想 加密算法 张明凯拆分方程 卡西欧计算器 目录第一部分 问题发现 第二部分 数学分析，定义及符号说明第三部分 应用数学分析暨模型建立 第四部分 运算效率与缺陷第五部分 论文推广第六部分 参考文献第一部分 问题发现在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和记作a+b。而我相对没那么厉害，探究的是数学书上写的“任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数之和”。但是，没有成功。我出生在一个拥有良好教育的家庭，受父母影响，很小就学习一些特殊的数学，之所以说特殊，是因为不考。但是我却更有兴趣去学习这些极为有趣的数学。我是一个实用主义者，所以我想，现在的数学发现有时会领先各个领域的发展，但是终将导致全新学科的发展，因为高次计算机也没能举出来一个特例，所以我不妨假设哥德巴赫猜想是正确的，因为这些素数拆分我们还没有什么有效的方法，所以我们没法去巧算它，只能去穷举，那么，它的计算量会非常的大，甚至一般的计算机也无法完成。如果哥德巴赫猜想成立，那么，它的实际应用应该是什么，既然它没有高级的定义，那么用它来做加密算法一定有效。第二部分 数学分析，定义及符号说明序言我研究的是“任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数之和”的问题，我并没有采用已知的方法，因为我相信，300年都没人证明出来的问题，很有可能是方法错误，或者是超出了已有的数学手段，但是无论是哪种可能，都意味着我证明不了，所以我别无选择，只能独辟蹊径。由于我们学校参与了卡西欧计算器的教学计划，所以我不但拥有并且可以熟练使用卡西欧计算器（在学校卡西欧计算器教学中，帮助老师，提供技术支持）。所以，这些复杂的数论问题，使用卡西欧计算器是极为明智的选择。正文我有着较好的数学基础，单独创立一种方式研究并不是不可能，但是这既然是一个数字问题，那么，我不应当因为我长了十根手指头就忘乎所以，纯净的数学还需回归自然，所以我果断使用二进制研究这个问题。由于此表格在此展示不甚方便，故不完全展示。为了方便于阅读，表格请见附录。把二进制数表中的质数提出210311510171111110111311011710001191001123101112911101311111137100101411010014310101147101111531101015911101161111101671000011711000111731001001791001111831010011891011001971100001可以看出二进制的质数除了2尾数都为1，这是因为它们都是奇数的原因，所以，要抛开最后一位不看。猜想中说，任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数之和，其反命题，所有素数两两相加，能组成大于等于6的偶数集合。即：已知集合Aa丨a为素数，B b丨b为素数, Cc=a+b丨aA,bB ，那么集合C为大于等于6的偶数集合。所以我们不妨还原为十进制。集合Aa丨a为素数，B b丨b为素数, Cc=a+b丨aA,bB a+b=c由于c为一大于等于6的偶数，那么为一大于等于3的自然数。即由于a,b都是奇数，那他们除以2之后剩0.5，那么，我将这0.5减掉。即移项即因为为一大于等于3的自然数，那么便为一大于等于2的自然数。所以也就是说：已知集合A丨a为素数，B 丨b为素数, C=+丨A, B ，那么集合C为大于等于2的偶数集合。那么现在再把100以内的素数a以列出素数（素数-1）/220.531527311513617819923112914311537184120432147235326592961306733713573367939834189449748所以2=1+1表示（2+1）2=（12+1）+（12+1）例如以此为依据拆分一些比较大的数151 + 14 3 + 11 2+ 9 1 + 8 2 + 6 1 + 5 2 + 3 1 + 2 1 + 115=1+3+2+1+2+1+2+1+1+1为了整齐划一，每一个数都拆为尽可能的多。3=1+1+14=1+1+1+15=2+1+1+110=1+1+2+1+2+1+1+1这种运算人算很容易，但是一旦数值较大，人就难以完成。并且这种拆法是可拆的（当然，如果某个大数破解了哥德巴赫的预言，我也没辙，就无法拆解了）。但是，仅将15以内的对应数表列出。1235689111415不难发现这种拆分方法仅仅是某数与前一个数的差。15-14=1 14-11=3 11-9=2 9-8=1 8-6=2 6-5=1 5-3=2 3-2=1 2-1=1所以结果也是1+3+2+1+2+1+2+1+1+1这样，这个表就消失了它的困难意义。所以可以将结果稍作变动。2=1+1 由于在上表中1代表了3，所以在这里2直接对应3+3=6当然，如果拆的不是15=2+1+1+1在这里拆完后对应的是14，虽然改变了，但是它却成为了单向函数。为了方便于使用，且异于常规的方程，从而规定一个特殊记号因为这是我创造出来的方程，所以以我的名字命名，全称为“张明凯拆分方程” 。读作“拆Z”例如如果在方程中运算，可直接简写为，名称与读法不变。例如所以做出如下规定将一大于等于2的自然数Z作如下拆解， 计算小于Z的最大值E 计算Z-E Z=E 重复直到Z=1 计算每一次的(Z-E)2+1，再计算总和。(其中E=丨a为素数)为了方便实用，我写入卡西欧计算器中的编程模块，便于获得拆分数据。张明凯拆分方程程序框图张明凯拆分方程源代码INPUT Zi=1DO DOn=SQR(x)-SQR(x) mod1WHILE (n-1)/(2x-1)mod10 n=n-1 WEND IF n1 x=x-1 LOOP UNTIL n=1 ELSEi=i+1 END IFIF x2x=x-1LOOP UNTIL x=2 ELSEPRINT 2x+1END IFEND由于编写好了源代码的程序，所以我可以轻松的用编程计算器求出方程值。把这个方程画入平面直角坐标系中。结果很遗憾，这个方程的图像是连续的，为了增加方程的单向性，可以作张明凯拆分方程的自身映射方程。读作“拆Z的a次映射”。例如a可以是一个固定参数，也可以是一个简单方程，当a自身为一个一般方程时，整个张明凯拆分方程的自身映射方程就成为了一个离散的，混沌的方程了。例如的函数（虽然（x+2）mod3+1这个参数看起来很复杂，其实就是1,2,3,1,2,3）把这个函数画入平面直角坐标系中。不难看出，虽然还有一定的规律性，但是已经混沌很多了。如果把参数变的更混乱，那么就实在难以找出规律了。第三部分 应用数学分析暨模型建立 现在，我已经有了一个单向的张明凯拆分方程作为算法的基础保障，这时，就涉及到有关加密部分的内容了。由于我的能力有限，所以并没有研究如何解密，同时因为不用去解密，那么就要让解密变得极难极难。 一般的数据在加密前需进行预处理，需要转化为等位数的标准化值。我在本论文中推荐的是信息技术课中讲过的ASCII代码处理，毕竟它已被国际标准化组织（ISO）定为国际标准，简单，明了，好用。（虽然我嫌它麻烦，没用它来演示，但正规使用还是用它的好）（具体的转化方式在此未予列出，因为比较多，可以上百度查阅ASCII代码。）之后就是最为复杂的加密手段了，按照普遍使用的加密手段惯例，应当先将信息Z带入拆分方程。为了增加破解难度，我选择了张明凯方程的自身映射方程。但是，由于方程的映射次数对方程值影响极大，所以建议使用取模方式来限定映射次数的范围。例如我要加密自己的名字的首字母，为了演示方便，在这里我先用最最简单的处理方法，即以字母表的顺序处理。例如A1B2C3Z26假如说我要加密我自己的名字的首字母，那么，张明凯=26,13,11那么将其带入卡西欧计算器运算 那么这时69,35,30就是加密后的密文，而至于说怎么破解，可以用线性方程来拟合，依靠概率来猜测。 的变化率大约在2到3之间，除以这个变化率 加以整理得到原密码在2334.5,11.817.5,1015之间，那么仅仅这样就有965=270种可能。如果使用张明凯拆分方程的自身映射方程，那么产生的可能性达到了难以计算的地步。如果使用线性方程作为映射次数并用取模运算限制映射次数，就能达到很好的加密效果，例如用简单的一次函数：就能获得很好的离散效果了，如果用更复杂的方程，那他的破解难度就难以计算了。即使是知道了参数方程，进行运算也要需要大量时间，如果不知道参数方程，那么这在密码学是不可解的，因为会有呈几何数量级的可能性，并随着明文长度增加而增加。第四部分 运算效率与缺陷运算效率：关于运算效率，其实是很慢的，从程序框图中看，计算每一次的拆分方程都需要大量的计算。例如加密一个四位数的密码，在不映射的情况下，大约要进行数万次运算，不过在一般计算机上，几乎是一瞬间的事。至于解密，由于是单向函数，只能再演算比对，如果计算完一个，直接比对，虽然不会多计算，但是反复比对是非常耗时的。同样的四位数，自身一共有10000种可能，有9000个大于1000的数，每一个数的算术平方根从30到100不等，既使平均从80开始算，判断每一个数是否为素数，就需要次以上的计算。但是使用很好的计算机，也是很快就能算完。如果用更多位的数，那么它的计算简直就是天文数字，我初步估算加密一个16位的密码就至少用次计算，不过一般计算机可以较为容易的加密完。但是要解密的话大约要用次运算，如果前者要用1秒钟，那么同一台电脑就要用3.17亿年！但是这只是理想状况下，因为我的估算并不准确，可能会差一两个数量级。不过话说回来，即使这样，对于一般计算机，也是绝对安全的了。缺陷：本算法的安全性依赖于张明凯拆分方程，但并没有从理论上证明其安全性，而且也未经密码学界探讨解密方法，仅仅是我个人尝试破解未果而已，如果真的可以破解，那么拆分方程就显得无用的很了。但是从另一方面讲，张明凯拆分方程属于哥德巴赫猜想的逆猜想的变种猜想的应用，即使真的被破解了，也未尝不是一件好事，因为这样可以推动哥德巴赫猜想的论证以及整个数论学科和密码学的发展，与此相比，我的拆分方程也就算不的什么了。 并且由于张明凯拆分方程运算复杂，且由于参数过大时进行的都是大数计算，使得其速度大大降低，所以比起一般加密算法速度较慢，且随着高速计算机技术的发展，要真的保证其安全性，还需要使参数方程复杂化。当然，加密位数过长时，可以先用一般加密算法甚至是压缩方法处理，然后用张明凯拆分方程加密，这样就可以很好地提高效率了。但是如果大范围使用，依然会让服务器过载，目前只是理论阶段，与已经成型的加密算法还是有不小的差距，拆分方程还有改进的余地。第五部分 论文推广其实张明凯拆分方程不只可以用在加密上面，其实也可以用于数据储存，我同样编写了反向运算的拆分程序，特点就是以时间换空间，即，压缩难，还原难，占地少。对一个特别大的文件进行加密，可以以十进制上百位同时压缩，在单次无映射的情况下，当文件极大时，变化率趋近于2，这样就可以较为简单的处理数据了。假设M为一个足够大的数据，令，规定m1为原值。可以用M直接除以2，再向M除以2再加1,2,3，逐个比对，直到拆分值等于M或比M仅小1或2的方法来计算原值。由于M可能并不是张明凯拆分方程中的值，但是由于方程值在不映射时，之间最多只会差3，所以会有3种可能，所以就在压缩完的数据后加注每一项的余数，以01,10,11区分。（因为00一般用来补项，所以在这里不用，以免发生错误。）例如，压缩15。计算153=5 152=7.5，推出原值在5到7.5之间。经验算，5=14所以15压缩为5+1，所以标准格式写为5 10,同理，5得到的原值是1，即5=1+2，标准格式1 11整合到一起15= 11 10当然利用卡西欧计算器的编程模块，这一过程显得相当简便。在二进制处理上，先写入被拆数，再写入映射次数，最后写入余数，取三者位数最大的数为标准，其余不够数的以0补齐。但是如果只拆一步5 10的三项为101，1,10因为101最大，所以记为101001010。由此可见，三项长度越平均，压缩程度越大。但是，其实15的标准数字化处理为1111，只有4位，看起来很小，但是其实大了之后很庞大。45=17=6=217是100010000100001 6是011000101010 2是000010 000011101010这时就明显短了许多。80=30=11=3+230肯定很大，不必考虑。11是1011001010103+2是000011000011110000不难发现，当数越大的时候，拆分方程的压缩效果就越好。由于我的计算器操作能力有限，论文写作时间也有限，故，在此不加鏖述拆到多少可以超过一般二进制，我的数学能力也有限，也不可能靠人工计算或证明这个问题。再扩展如果我仅仅一步就拆到位，在之后直接补齐剩余位，可以减少很大的不必要位。例如27=1+2 这样我用011110六位就可以表示了。如果拆一个大的数17542=7+3=（7,7,3）=111111011此时我的这种压缩方法远超过了普通二进制换算。但是，在这个扩展算法中，如何能做到一拆到位是一个非常难的过程，我仅仅是依仗我有大卡,如果没有的话，恐怕一天也算不完，卡西欧计算器这种扩展方法大放光彩。附录下表是100以内正整数及其对应的二进制。表一1121101014110100121022101104210101031123101114310101141002411000441011005101251100145101101611026110104610111071112711011471011118100028111004811000091001291110149110001101010301111050110010111011311111151110011121100321000005211010013110133100001531101011411103410001054110110151111351000115511011116100003610010056111000171000137100101571110011810010381001105811101019100113910011159111011201010040101000601