高中数学一轮复习 第5讲 古典概型及概率的综合应用

第5讲 古典概型及概率的综合应用随堂演练巩固1.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程有实根的概率为( ) A. B. C.D. 【答案】 A 【解析】 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为. 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概率为P. 2.下列对古典概型的说法其中正确的是 . 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每个事件出现的可能性相等 每个基本事件出现的可能性相等 基本事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则 【答案】 【解析】 区分事件和基本事件,是错误的. 3.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 复数(m+ni)(n-miiii.该复数为实数的条件为m=n.投掷两颗骰子共有点数种),满足m=n的有6种,因此使(m+ni)(n-mi)为实数的概率为. 4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 . 【答案】 【解析】 . 5.将一枚均匀硬币抛掷三次. (1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件; (2)事件A”恰有两次出现正面”包含几个基本事件; (3)事件B”三次都出现正面”包含几个基本事件. 【解】 (1)试验”将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件如下: (正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(正,正,正),(反,反,反),(反,反,正),(反,正,反)(反,正,正). 共8种等可能结果. (2)事件A包含的基本事件有三个: (正,正,反),(正,反,正),(反,正,正). (3)事件B包含的基本事件只有一个:(正,正,正). 课后作业夯基基础巩固1.方程有实根的概率为( ) A. B. C.D. 【答案】 C 【解析】 由得又故所求事件的概率为. 2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( ) A.B. C.D. 【答案】 D 【解析】 由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率为. 3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( ) A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 1、3、4、5、8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为. 4.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班50名同学(其中男同学30名,女同学20名)采取分层抽样的方法,抽取一个样本容量为10的样本进行研究,某女同学甲被抽到的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 50名同学占50个位置,某女同学甲排的位置不同得到50个基本事件,排在前10位被抽取为样本中的个体,甲同学被抽到即甲排在前10位,共有10个基本事件.因此. 5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 点P在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为. 6.(2020山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为则的概率为( ) A.B. C.D. 【答案】 D 【解析】 由得cos从而.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为. 7.在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动,其中至少有一名男生参加的概率为 . 【答案】 0.7 【解析】 把5名学生分别编号为女生1,女生2,女生3,男生1,男生2.则从5名学生中选2人的所有选法为(女生1,女生2),(女生1,女生3),(女生1,男生1),(女生1,男生2),(女生2,女生3),(女生2,男生1),(女生2,男生2),(女生3,男生1),(女生3,男生2),(男生1,男生2)共有10种,其中至少有一名男生参加有7种,所以至少一名男生参加的概率为.7. 8.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .(结果用最简分数表示) 【答案】 【解析】 将一骰子连续抛掷三次,共有种可能的结果,其中点数依次成等差数列的情况有6=18种,故所求概率为. 9.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)= . 【答案】 【解析】 当时,S=2k+1, 当k=9时,S=9+1+0=10, 当时,令2+2t+1=2t+3, 当k=19时,S=1+9+2+0=12, 令则k=7、8, 令则t=6、7、8,即k=16、17、18, 故. 10.一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问: (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少? 【解】 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件摸到1,2号球用(1,2)表示:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此,共有10个基本事件. (2)上述10个基本事件发生的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故. 11.现有8名奥运会志愿者,其中志愿者通晓日语通晓俄语通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组. (1)求被选中的概率; (2)求和不全被选中的概率. 【解】 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间为,由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用M表示“恰被选中”这一事件,则M=,事件M由6个基本事件组成,因而P(M)=. (2)用”N”表示“、不全被选中”这一事件,则其对立事件N表示“、全被选中”这一事件;由于N=,事件N由3个基本事件组成,所以P(N由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N. 12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是. (1)求n的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b. 记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率. 【解】 (1)由题意可知:解得n=2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1共12个,事件A包含的基本事件为:共4个. . 拓展延伸13.已知函数R). 若a从集合0,1,2,3中任取一个元素,b从集合0,1,2,3中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率. 【解】 a取集合0,1,2,3中任一个元素,b取集合0,1,2,3中任一个元素,a,b取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3