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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（205）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数当 时，函数取得最大值。2.= 。3.已知则的最小值为 。4.在三棱柱中，正方形的边长为4，平面平面，AB=3,BC=5.若在线段上有一点D，使得,则的值为 。5.复数满足，且的最大值和最小值之和为，则 .6.已知所有的正整数均在个集合中，满足当为素数时，属于两个不同的集合，则当的最小值为 。7.已知椭圆C过点M（1，2），两个焦点为坐标原点，平行于OM的直线与椭圆C交于A、B两点，则面积的最大值为 。8.已知正整数满足且则满足题意的六元数组（）有 组。二、解答题（共56分）9.（16分）已知数列满足，。证明：（1）；（2）若。10.（20分）设函数满足。证明：存在当且仅当，。11.（20分）将整数1，2，3，20202填入一个20202020的方格表中，每格填一个数，且任意两格中所填的数不同，现将任意两格的中心连出一个向量，方向均是依所填的数从小到大。若方格表中每行每列所填各数之和相等，求所连出的全部向量之和。加试一、（40分）在四边形ABCD中，E为CD上一点，使得分别为AD、BC、BD、AC上的点，且满足.联结MQ。PN分别与AE、BE交于点U、V。若UE=VE,试判断四边形ABCD的形状。二、（40分）已知函数满足，求。三、（50分）记表示不超过实数的最大整数，设互不相同的个奇素数满足是模的非二次剩余，且，其中，证明：四、（50分）一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台
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