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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（209）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数的定义域为D，若（1）在D内是单调函数，（2）存在区间，使得在区间上的值域是，则称为闭函数。若为闭函数，则的取值范围是 。2.掷六次色子，令第次得到的数为。若存在正整数，使得的概率，其中，、为互素的正整数，则 。3.设向量满足对任意，均有。则实数的取值范围是 。4.对任意的，函数均满足（1）（2）（3）。则 .5.设集合满足.则满足条件的集合A的个数为 。6.设为Fibonacci数列，定义如下：则方程的解集为 7.一个球外接于四面体ABCD，另一个半径为1的球与平面ABC相切，且两球内切于点D。若，则四面体ABCD的体积为 。8.设P为椭圆上任意一点，为椭圆的焦点，分别与椭圆交于A、B两点，则 .二、解答题9.设为正整数，集合，求最小的正整数，使得对于集合M的任何一个元子集，其中必有四个互不相同的元素之和为。10.已知两个整数数列满足（1）对任意非负整数，有；（2）对任意非负整数，有证明：数列中最多只有六个不同的数。11.在双曲线C：中，分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为。（1）是否存在一点P，使得？（2）设A为双曲线C的左顶点，直线过右焦点，与双曲线C交于两点，若的斜率满足，求直线的方程。加试一、设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点K，在内存在一点P，使得,.证明：点P在四边形ABCD四条边上的射影构成的四边形的对角线互相垂直。2、 已知函数。求最大的实数，使得对于任何满足的正数,均有三、将颗珠子分成2N-1堆。若通过每次从其中N堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。
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