高中数学基本不等式及其应用分析苏教版必修5

基本不等式及其应用基本不等式看上去很简单，就两个不等式：（1）若a，bR，则（当且仅当a=b时取“=”号）（2） 若a，b为正实数，则 （当且仅当a=b时取“=”号）由于看上去太简单，以至于我也把它列入“免学内容”。但当学生拿两题目问我时，我竟然下不了笔，即便做了，也费死黑牢劲。既然问题来了，就学呗。为此，我看了几个关于基本不等式的讲座。我发现，丁益祥老师讲的好象很透堂，轻轻松松就把看似很复杂的问题解决了。丁老师的讲座很好，尤其是在解决“恒成立”问题时，方法很独到；另外，不等式的应用题，他讲的也很到位。我的感觉是：自己在基本不等式问题的理解上提高了一个档次。下面，我把他的讲解要义整理一下，并做适当补充，哪位觉得好用拿去用就是了。他的讲座以例题形式开始的，我也就照搬吧。例一：设，则、的最 准确的大小关系 分析：显然，这是一个计算取值范围的问题。要求出M的取值范围，必然要用“基本不等式2”，按照“一正、二定、三相等”原则，为了使“a、b”的积为定值，还得给原式进行些凑配，显然，我们要给原式凑一个“2”，为了使其值不变，后面还要加一个“+2”。那么，原式变为：M=，再看看，它是不是已经符合“一正二定”的要求了呢？显然符合嘛；但是，M的取值范围是不是我们肉眼也能看出来的大于等于4呢？我抽查四位学习较好的学生，他们的回答非常肯定；但是，不对！为什么？因为，当且仅当=时，a=3；而a=3不在a的要求范围内，所以M4。而N的范围呢？显然，要把刚才的基本不等式反用，为了使“a、b”的和为定值，也要进行一些凑配。经过凑配，原式变为：N=。经肉眼观察，N4。那么，MN。 另外，我们再看看N，实际上它不就是一个图像开口向下的二次函数吗，当且仅当时，N=4，否则，N都小于4。因此，如果将后面的x的取值范围擦掉，题目也没错，只不过，不好用基本不等式了。例二：已知不等式()9对任意正实数恒成立，则正实数的最小值 为 分析：一个“恒成立”问题，怎么弄呢？两个基本不等式都不符合，“一正、二定、三相等”也靠不上去。怎么办？怎么办，用乘法分配律将式子的左边进行整合。经整合，原式变为：，定值依稀出现。这是一个关于的二次不等式。最终解得，的最小值为4。详细过程不做赘述。总结：本题这类问题事实上是不等式中的恒成立问题，本质上只需的最小值不小于9即可。因此，把展开重组并运用均值定理求出最小值是解决问题的关键。例三：关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围分析：这题就是典型的“恒成立”问题，在不等式中经常会遇到。初见此题，真的有点难，如果不是出现在“基本不等式”的学习过程中，还真有点难度，因为，遇到类似问题，我一般是先移项，再去绝对值符号。但是，问题出现了：有一个3次方。显然，以高一学生学过的知识不大好解。既然在学习不等式时出现了，思维惯性也驱使我们往基本不等式上考虑。经观察，的取值范围是正值，如果等式两边同除以，原式变为： 。因为，当且仅当=5时取等号；当=5时，（最小值）。所以，。所以。可见，这题的关键是能否想到将所给不等式两边同时除以X，化成符合基本不等式的形式。当把它变形为后，事实上已将问题转化为求函数最小值问题，这种转化思想应当熟练掌握。 应当强调的是，运用基本不等式求最值时，应注意所研究的数是正数，它们的和或积是定值，并且要注意等号取得的条件，即应强调“一正、二定、三相等”的要求。例四：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨解：由题意得，购买次数为，总运费为万元，故一年的总运费与总存储费为万元。当且仅当X=20吨时取等号。即：20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小 总结：简单的应用题，列式是关键。在此提示怕应用题的同学：应用题真的不太难，认真细心地多读两边就能列出式子了。例五：经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为 在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少（精 确到0.1千辆/小时）？ 若要求该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 分析：这题怎么解呢？经观察发现，如果将等式的右边分子分母同除以，好象符合基本不等式均值定理的形式和要求。解：（1） 当且仅当，即时取等号， （2）先化为整式不等式，再解一元二次不等式，略。答案为：连看带写，连写带做，自己好象提高了很多。边写边想，边想边写，题外好象还有很多话想说。想来想去，就说两句关于应试的感受吧，权当这篇“瞎说”的收尾部分。我认为，学生考数学时一定要做到三个字“快、准、活”。所谓“快”，当然是做题要快，主要指做基础题要快，大题目还是要慢点。我做题目很快，填空题每题很少超过一分钟，超过一分钟说明思路出现偏差，但偏差也不是就做不出正确结果的，“条条大路通罗马”吗；但绝不超过五分钟，如果五分钟还没好，立即放弃该题，最后再做。所谓“准”，是准确率要高，如果光快而不准，复查时看一题错一题订正一题，海了。因此，我们做题时除了快，更要注意准。如何做到既快且准？平时训练自不必说，考试时要先看，认真的看，连心带眼地看，看好了，想通了再做。卷子发下来不是有五分钟阅卷时间吗。我们一定要用好这五分钟，利用这五分钟，飞速浏览一下试卷，使自己心中有两个“数”，一个数是该卷深不深，自己能考多少分；二个数是安排好做卷的时间分配，也就是计划。所谓“活”，是指脑袋活、思路活，这点最重要了。我有个习惯：只要是考试，从来不提前进考场，没进考场并不是在玩，也不是在看书，而是在睡觉。目的是在考试前把脑袋中的内容“清零”，以便在考试时，脑筋运行速度达到最快，这是脑袋活。一旦拿到卷子了，就要全身心的投入到做题中，要做到心无旁鹜、稳如泰山、思路如泉涌一旦钻牛角里去了，要迅速转身，另求它途，力争在最捷径上赶到罗马。课后自测及解答1、 已知函数，对于任意正数，使得成立的一个充分不必要条件( )A B C D答案：C详解：要求充分不必要，只有符合。2、若不等式的解集为，求实数p与q的值答案：详解：由解集为，所以，所以解得。3、已知函数。（1）解关于的不等式。（2）若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。答案：（1）当时解集为 当时解集为（2）的取值范围是详解：（1）当时，；当时，所以当时解集为、当时解集为。（2）、解得的取值范围是。4、已