高中数学指数概念的扩充-合作与讨论

指数概念的扩充-合作与讨论1本节课由正整数指数幂引出整数指数幂，进而引出分数指数幂、有理数指数幂，最后得出实数指数幂及其运算性质然后通过例题与练习加深学生对这些概念的理解及运算性质的熟练应用，遵循由特殊到一般的认知思维过程2零的零次幂和负整数次幂无意义，（nN*且n1）3如何理解分数指数幂的意义?分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法规定（a0，m，n都是正整数，n1），（a0，m，n都是正整数，n1），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定4分数指数幂和整数指数幂有什么异同?相同不同分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算整数指数幂表示的是相同因式的连乘积而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式5有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否一样?在运算形式上是完全一样的，都是arasars；（ar）sars；（ab）rarbr，式中a0，b0，r、sQ，对于这三条性质，不要求证明，但须记准，会正用，会逆用，要用活6如何进行根式运算?根式运算，教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算注意，对计算结果的要求，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数运算时要分清与这两种形式对于前者，利用（n1且nN*）计算对于后者，要注意n是奇数还是偶数，即利用下列等式：当n为奇数时，；当n为偶数时，【例1】求下列各式的值（1）（2）解析：（1）是一类且n为偶数所以（2）是一类且n为奇数；是一类且n为偶数；是一类所以7如何进行根式与分数指数幂的互化?分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的一种新的写法互化时应根据规定，（a0，m，nN*且n1），（a0，m，nN*且n1）进行变形【例2】（1）用负指数幂表示；（2）化掉分数指数幂；（3）写成指数幂的形式解析：直接根据“规定”互化即可（1）；（2）（3）8如何进行分数指数幂和根式的运算？（1）用分数指数幂进行根式运算，顺序是先化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算（2）计算结果不强求一致，如无特别要求，用分数指数幂的形式，如有要求，可据要求给结果（3）结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂【例3】计算：（1）；（2）解析：（1）先将根式化成分数指数幂再运算；（2）可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底幂相乘除，并且注意符号 【例4】（1）化简；（2）已知a43，b32，求下式的值：解析：（1）化简时注意乘法公式；的应用（2）求值时，应先化简后求值：原式点评：化简时把分数指数幂、负指数幂看作一个整体，然后使用有理式中的乘法公式分解因式进行约分化简，体现了整体思想知识总结 通过本节课的学习，使学生理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用之进行化简、求值，能对根式、分数指数幂进行互化，培养学生的数学应用意识，使学生了解数学解题的化归与转化思想，教会学生用联系的观点看问题，并认识事物之间的普遍联系，提高学生的素质本节学习了分数指数幂及有理数指数幂的概念及其性质对于整数指数幂、分数指数幂及有理数指数幂的概念，课本上是直接规定的。对于其性质，课本上只是类推过来，其证明方法教材没作要求，有兴趣的同学可在老师的辅助下完成证明由于本节课的重点在于概念及其性质的简单应用，故应熟练掌握运算性质，并灵活应用；课本上也有大量的例题与练习，通过学习要灵活掌握其运算技巧【例5】计算（1）；（2）解析：小数化成分数，根式化成分数指数幂（1）原式（2）原式说明：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在本节的学习中，渗透了由特殊到一般（指数的推广），与一般到特殊（运算性质的使用），抽象概括（运算性质的概括），分类讨论等数学思想思路分析 1本节的重点是整数指数幂、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的意义及其运算2本节的难点是对这些指数幂的理解3难点突破：深刻理解整数指数幂、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念及其运算性质 相关链接1最早使用指数符号的是法国数学家笛卡儿，他于1637年用an表示正整数指数幂，用a3代表aaa，用a4代表aaaa分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数幂符号的是荷兰工程师司蒂文，以后又有人将其拓广到负指数直到18世纪初，英国数学家牛顿开始用an表示任意实数指数幂这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数2有关根式的概念（1）n次方根：如xna，则x叫a的n次方根，其中n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，正数a的正的n次方根用表示，负的n次方根用表示，合并为（a0）（2）根式：式子叫根式，n叫根指数，a叫被开方数（3）根式的基本性质：如果一个根式的被开方数是一个正数或者零的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或都除以同一个正整数，根式的值不变（a0，mN*，n，p是大于1的整数3方根的性质（1）跟立方根情况一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇