高中数学立几中的最值问题四则学法指导

高中数学高中数学立几中的最值问题四则立几中的最值问题四则 1. 用配方法求距离的最值 例 1. 如图 1，正方形 ABCD、ABEF 边长都是 1，且平面 ABCD、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若。试求当 a 为何值CMBNaa()02 时，MN 的值最小。 图 1 分析：此题的解题关键是想用含 a 的代数式表示距离，再用配方法求最值。 解：过 M 作，垂足为 H，连结 NH，如图 1 所示。MH AB 在正方形 ABCD 中，AB CB 所以，BCMH/ / 因为平面平面 AE，AC 所以平面 AE，即。MHMH NH 因为，CMBNa ABCBBE,1 所以ACBF2 即，AMa2 ，MHAHa BHa1 2 2 2 2 , 由余弦定理求得。NHa 2 2 所以MNMHNH 22 ()() ()() 1 2 2 2 2 21 2 2 1 2 02 22 2 2 aa aa aa 当时，即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时，MN 的值最小，a 2 2 MN 2 2 最小值为 2 2 2. 结合实际找最值位置 例 2. 在一张硬纸上，抠去一个半径为的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为 4，3 高为 6 的正三棱锥上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的ABCD 最大值是_。 图 2 解：如图 2 所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在 BCD处。设正三棱锥的顶点ABCD A 在平面 BCD 上的射影为 A，在平面 BCD上的射影为O。 连结 BA、BO并延长分别交 CD、CD于E、E点，则 平面平面 BCD，B C D/ 所以， B E BE B C BC ，B EB OBEBA 3 2 3 2 ， 即。 B O BA B C BC 又因为，BAB OBC, , 4 3 3 34 所以B C 3 又， AO AA B C BC 所以，AO B C BC AA 9 2 即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是。 9 2 3. 利用函数的有界性求体积最值 例 3. 如图 3，已知在中，平面 ABC，于 E，ABCC90PAAE PB 于 F，当变化时，求三棱锥体积的最AF PCAPAB 2AEFPAEF 大值。 图 3 解：因为平面 ABCPA 平面 ABC，BC 所以PA BC 又因为，BC AC PAACA, 所以平面 PAC，BC 又平面 PAC，AF 所以，BC AF 又，AF PC PCBCC, 所以平面 PBC，即。AFAF EF EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影， 因为，AE PB 所以，EF PB 即平面 AEF。PE 在三棱锥中，PAEF ，APABAE PB2, 所以，PEAE22, AFEF VSPE PAEFAEF 22 1 3 1 3 1 2 222 sin ,cos sincos ， 2 6 2sin 因为，0 2 所以02021，sin 因此，当时，取得最大值为。 4 VP AEF 2 6 4. 结合图形列方程求解。 例 4. 棱长为 2cm 的正方体容器盛满水，把半径为 1cm 的铜球放入水中刚好被淹没，然 后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？ A D C S O1 O A1 C1 图 4 解：过正方形对角线的截面图如图 4 所示。 ，ACAO 1 2 33