2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示导学案 新人教A版必修4

23.2平面向量的正交分解及坐标表示 23.3平面向量的坐标运算教材研读预习课本p9498，思考以下问题1怎样分解一个向量才为正交分解？2如何由a，b的坐标求ab，ab，a的坐标？要点梳理1平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量2平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标(3)坐标表示：a(x，y)(4)特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)3平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，r，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()2当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()3两向量差的坐标与两向量的顺序无关()4点的坐标与向量的坐标相同()答案1.2.3.4.题型一平面向量的坐标表示思考：点的坐标与向量的坐标分别由哪些因素决定？提示：点的坐标是由点在坐标平面内的位置决定的，而向量的坐标由向量的起点与终点的位置来决定的如图，在边长为1的正方形abcd中，ab与x轴正半轴成30角求点b和点d的坐标和与的坐标思路导引利用三角函数的定义求点的坐标；求向量坐标时，找好向量的始点与终点坐标解由题知b，d分别是30，120角的终边与单位圆的交点设b(x1，y1)，d(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos30，y1sin30，b.x2cos120，y2sin120，d.，.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标跟踪训练已知o是坐标原点，点a在第一象限，|4，xoa60，(1)求向量的坐标；(2)若b(，1)，求的坐标解(1)设(x，y)由题意得x4cos602y4sin606的坐标为(2，6)(2)由(1)知a(2，6)，而b(，1)(2，6)(，1)(，7)题型二平面向量的坐标运算思考：若a，b，则向量与ba的坐标相同吗？提示：由于ba，因此与ba的坐标相同 (1)已知点a(0,1)，b(3,2)，向量(4，3)，则向量()a(7，4) b(7,4)c(1,4) d(1,4)(2)若a，b，c三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标思路导引求向量的坐标应用向量终点坐标减始点坐标解析(1)设c(x，y)，a(0,1)，(4，3)，(x，y1)(4，3)即故c(4，2)(4，2)(3,2)(7，4)(2)因为(2,10)，(8,4)，(10,14)，所以2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3)答案(1)a(2)(18,18)(3，3)平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练(1)已知三点a(2，1)，b(3,4)，c(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标解析(1)a(2，1)，b(3,4)，c(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)答案(1)(11,13)(7，14)(2)见解析已知点o(0,0)，a(1,2)，b(4,5)及t，t为何值时，点p在x轴上？点p在y轴上？点p在第二象限？思路导引若点在x轴上，则点的纵坐标为0；点在x轴上，横坐标为0；在第二象限，则横坐小于0，纵坐标大于0.解因为t(1,2)t(3,3)(13t,23t)，若点p在x轴上，则23t0，所以t.若点p在y轴上，则13t0，所以t.若点p在第二象限，则所以t.变式若本例中条件不变，问t为何值时，b为线段ap的中点解tt即t.b为线段ap的中点，2，故t2.向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的跟踪训练已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标解不妨设a(3,7)，b(4,6)，c(1，2)第四个顶点为d(x，y)则a、b、c、d四点构成平行四边形有以下三种情形(1)当平行四边形为abcd时，设点d的坐标为(x，y)，(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，d(0，1)；(2)当平行四边形为abdc时，仿(1)可得d(2，3)；(3)当平行四边形为adbc时，仿(1)可得d(6,15)综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，1)，(2，3)或(6,15)课堂归纳小结1本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算，难点是向量坐标运算的综合运用2本节课重点掌握以下三个问题(1)平面向量的坐标表示，见典例1；(2)平面向量的坐标运算，见典例2；(3)向量坐标运算的综合运用，见典例3.1a(3,1)，b(2，1)，则的坐标是()a(2，1) b(2,1)c(1,2) d(1，2)解析(3,1)(2，1)(1,2)答案c2若(2,4)，(1,3)，则等于()a(1,1) b(1，1)c(3,7) d(3，7)解析(1,3)(2,4)(1，1)答案b3已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()a(2，1) b(2,1)c(1,0) d(1,2)解析ab(1,1)(1，1)(