高中数学第一册(上)互斥事件有一个发生的概率-教学探讨

互斥事件有一个发生的概率-教学探讨【基础知识精讲】1.事件的和设A，B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生.“事件的和”教材中是结合实例说明A+B的意义的，它可以进一步推广，“A1+A2+An”表示这样一个事件，在同一试验中，A1，A2，An中至少有一个发生即表示它发生.2.互斥事件与彼此互斥不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件.一般地，如果事件A1，A2，An中任何两个都是互斥事件，那么说事件A1，A2，An彼此互斥.说明 事件的互斥是对两个事件说的.对立事件一定是互斥事件，事件A的对立事件记作，但互斥事件未必是对立事件.3.互斥事件有一个发生的概率如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即 P(A+B)P(A)+P(B) (1)如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1+A2+An发生(即A1，A2，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和.即 P(A1+A2+An)P(A1)+P(A2)+P(An) (2)对于公式(1)，我们可以用古典概型的例子加以证明：设在某一随机试验之下，共有N种等可能出现的结果，其中有m1个结果属于事件A(也就是这m1个结果中任何一个发生都表示A发生)，有m2个结果属于事件B(也就是这m2个结果中任何一个发生都表示B发生).这里A与B互斥，所以属于事件A的m1个结果与属于事件B的m2个结果中不存在相同的结果，事件A+B的发生表示A与B中有一个发生，即在上述属于A的m1个结果连同属于B的m2个结果中，有任何一个发生都表示A+B发生(或者说，凡属于A的结果和属于B的结果都属于A+B)，因此.P(A+B).又 已知P(A),P(B).从而P(A+B)+P(A)+P(B)值得注意的是：上面证法虽然是用古典概型的例子加以证明，但公式(1)对于非古典概型的互斥事件仍然是成立的，公式(2)在等可能事件的情形下，不难用数学归纳法在公式(1)的基础上加以证明.两个事件不互斥，就不能用公式(1).4.对立事件的概率根据对立事件的意义，A+是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A与互斥，从而 P(A)+P()P(A+)1.即两个对立事件的概率的和等于1，该公式还可以写为P()1-P(A).【重点难点解析】本节重点是互斥事件的概率加法公式的应用，难点是对互斥事件的概率的理解.例1 10件产品中有2件次品，任取2件检验，求至少有一件是次品的概率.解 全是正品的概率为，则至少有一件次品的概率为1-.例2 由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数概率0 1 2 3 4 5人以上0.10 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队的概率(2)至少2人排队的概率解 (1)记没有人排队为事件A，1人排队为事件B.2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥.P(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)0.1+0.16+0.30.56(2)记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，则P(D)P()1-(P(A)+P(B)1-(0.1+0.16)0.74.例3 甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有n个白球，m个黑球，(mn),现从两袋中各摸一个球，A：“两球同色” B：“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为( )A.P(A)P(B) B.P(A)P(B)C.P(A)P(B) D.视m、n的大小而定解 应将A、B分别分解为互斥事件之前，利用公式EFF时，P(EF)P(E)+P(F).解法一：以A1表示取出的都是白球.A2表示取出的都是黑球，则A1，A2互斥且AA1A2，P(A)P(A1)+P(A2)+.以B1表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B2表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，则B1、B2到斥且BB1B2，P(B)P(B1)+P(B2)+.由于mn，故2mnm2+n2.故P(A)P(B).选A.解法二：显然B，所以按解法一解出P(A)后，可得P(B)1-P(A).比较P(A)、P(B)即可选A.例4 甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为( )A. B. C. D.分析 需将所求的比较复的事件分解为相对简单一些的事件之后，分别予以计算，最后再综合起来得结论.解法一：甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E，此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用F1表示，并由乙袋取白球放入甲，用F2表示，令FF1F2.则所求事件为EF，且E与F互斥，显然P(E)，下面计算P(F)，记F1为由甲袋取出白球(不放入乙袋)，F2为当乙袋内有5个白球，6个黑球时取出一球为白球，则显然有P(F1F2)P(F1F2).而F1与F2独立，故P(F1F2).所以有：P(EF)P(E)+P(F)+(1+).应选B.解法二：先计算白球减少的概率，甲袋内白球减少只能是从甲袋取出的球为白球放入乙袋()，再由乙袋(此时乙袋内已有5个白球，6个黑球)内取黑球放回甲袋()，故甲袋白球减少的概率为P()，从而甲袋内白球没减少的概率为1-.选B.【难题巧解点拨】例1 一盒中标有1至9号的小球9个，任取两个，小球上的所有标号之积为偶数的概率是多少?解法一：记标号之积为偶数为事件A.P().P(A)1-P().解法二：基本事件有C92种；标号之积为偶数的事件共有两类：一类有C42种，另一类有C41C51种.P例2 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一排，则得到的数能被5或2整除的概率是多少?解 记被5整除的事件为A，被2整除的事件为B，A、B互斥P(A)0.2 (B)0.4P(A+B)P(A)+P(B)0.6例3 书包里有中文书5本，英文书2本，日文书3本，从中抽取1本，求抽得外文书的概率是多少?解法一：基本事件有nC101种抽得外文书的事件有mC21+C315种P解法二：记抽得英文书为事件A，抽得日文书为事件B，A、B互斥.P(A) P(B)P(A+B)P(A)+P(B)【课本难题解答】某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19计算这一射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率(2)不够8环的概率解 (1)记射中10环为事件A，射中9环为事件B，A、B互斥则 P(A+B)P(A)+P(B)0.24+0.280.52(2)记不够8环为事件D，射中8环为事件C，则D与A+B+C为相互独立事件.P(D)P()1-P(A+B+C)1-(P(A)+P(B)+P(C)1-(0.24+0.28+0.19)0.29【命题趋势分析】本节是新增内容，主要考查互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.【典型热点考题】例1 产品中有一、二、三等品及废品4种，一、二、三等品率和废品率分别为60%，10%，20%，10%，任取一个产品检验其质量，那么取到一等品或二等品的概率是 .解 这是互斥事件，记取一个产品为一等品记为事件A，取一个产品为二等品记为事件B，又A、B为互斥事件，则P(A+B)P(A)+P(B)6%+10%0.6+0.1=0.7.例2 一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为( )A. B. C. D. 解 记没有取出绿球的事件为A.则至少取出1个绿球的事件为，首先任取2个球的取法为C102，任取2个球，没有取到绿球的取法为C72.P(A)则 P()1-P(A)1-【生活实际运用】设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性.纯显性与混合性的人都露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性，问：(1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?(2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?解 孩子的一对基因为dd,rr,rd的概率分别为，孩子有显性决定的特征是具有dd,rd,所以(1)1个孩子有显性决定的特征的概率为+.(2)因为2个孩子如果都不具有显性决定的特征.即2个孩子都具有rr基因的纯隐性特征，其概率为.所以2个孩子中至少有一个显性决定特征的概率为1-.【知识验证实验】甲、乙两人相约在0时至1时之间在某地碰头，早到者到达后应等20分钟方可离去，如果两人到达的时刻是相互独立的，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问他们两人相遇的可能性有多大?解 设两人到达约会地点的时刻分别为x,y，依题意，必须满足x-y才能相遇.我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G内，即甲、乙两人的到达时刻(x,y)满足x-y，所以两人相遇的概率为区域G与区域的面积之比：P.也就是说，他们相遇的可能性过半.【知识探究学习】1.每张中国邮政贺年(有奖)明信片上附有一个六个数组成的号码，1997年、1998年公布的获奖号码(其尾数)如下：1997年1998年特等奖400656一等奖963639一等奖877175二等奖07594二等奖50725；20460三等奖7655；8639；4754三等奖2463；5502四等奖090；433四等奖626803；796五等奖84624纪念奖3五等奖9试问：(1)哪一年获奖的概率大?(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5%)(2)若不考虑1997年纪念奖、1998年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少?解 (1)由于两年发行明信片数为n106，为了比较获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少.1997年获奖明信片张数为1+1+20+200+1000+10000+100000111222(张)1998年获奖明信片张数为1+10+300+5000+100000105311(张)故1997年获奖概率大于1998年获奖概率.(2)1997年不包含纪念奖的概率为1.12%，1998年不包含五等奖的概率为0.53%，相差为1.12%-0.53%0.59%.2.父、母、子三人举行比赛，每局总有一人胜一人负(没有平局).每局的优胜者就与未参加此局的人再进行比赛，如果某人首先胜了两局，则他就是整个比赛的优胜者.由父决定第一局由哪两人参加，其中儿子实力最强，所以父为了使自己得胜的概率达到最大，就决定第一局由他与妻子先比赛.试证父的决策为最优策略(任何一对选手中一人胜对方的概率在整个比赛中是不变的)解 设A、B、C分别表示父、母、子得胜的事件，又设父胜母的概率为a，那么母胜父的概率为1-a；父胜子的概率为b，那么子胜父的概率为1-b；母胜子的概率为c，子胜母的概率为1-c.由于儿子实力最强，有b，c.(1)若第一局先由父与母比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ACBA，BCAA，即概率为P1ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)baab+a2c(a-b)+ab(1-a)(1-c).(2)若第一局先由父与子比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ABCA，CBAA，即概率为P2ba+b(1-a)(1-c)b+(1-b)cabab+b2(1-a)(1-c)+abc(1-b)(3)若第一局先由母与子比赛，则父得胜的可能性的情况为：BAA，CAA，即概率为P3cab+(1-