高中数学论文类比推理在解析几何中的应用

例谈类比在解析几何中的应用 在近几年的高考试题中，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。在2020年江苏省考试说明中，明确指出数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查，重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查，其中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。笔者研究近几年的高考试题，发现类比推理的考查较为突出，是高考的一个新的亮点，本文仅对类比推理在解析几何中的应用作相关论述。一 圆锥曲线的统一性椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线。由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性质有着许多类似之处，在研究有关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。（1）椭圆与双曲线类比例1 ：（上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值。证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）。因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理，则（定值）。评注：本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力及类比推理的能力。（2）椭圆与抛物线类比例2：在椭圆中，F是左焦点，是左准线，A是右顶点，过F任作直线与椭圆交与B、C两点，连接AB、AC与左准线分别交与P、Q两点，设两点的纵坐标分别为，求证：为定值。类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。分析：如图所示， 以椭圆左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为：,设，过C作，设准线与 x轴交与E点，则与相似，所以,即：，所以=。同理可得，所以。类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即在无穷远处，等同于椭圆的右顶点A，因此我们有以下结论：在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，分别过A、B向准线作垂线，垂足分别为C、D，设两点的纵坐标分别为，则为定值，定值为，证明从略。评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三类曲线的相似之处，才能解决此类问题，课本选修2-1（苏教版）第23页给出了三类曲线的形成模型，回归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。（3）同类曲线自身的类比例3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线xy=k,k0,上任意一点P，若点P在x轴和y轴上的射影分别为A、B，则必为定值 K”；类比于此，对于双曲线上任意一点P，类似的命题是什么？并证明你的结论。分析：鉴于x,y轴是双曲线xy=k,k0的两条渐近线，因此我们可以得到下面的结论：对于双曲线上任意一点P，若在两条渐近线上的射影分别是A、B，则有必为定值。这个定值是多少呢？我们不妨先取P为顶点时，可以得到定值为，证明从略。评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线xy=k,k0而言实质上是其渐近线。（4）三类曲线间的类比例4：在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，以AB为直径作圆C，试判断圆C与准线的位置关系。类比上述结论，在椭圆与双曲线中是否仍有上述结论？若有，给予证明，若无，试说明位置关系。分析：如图所示， 分别过A,B,C向准线作垂线，垂足分别为G,E,H，由抛物线的定义知，,所以，由梯形的中位线定理知：,所以：,即圆心到准线的距离等于圆的半径，所以圆与准线相切。类比上述推理过程，我们发现：由椭圆的第二定义知道：，其中e为椭圆的离心率，所以，由梯形的中位线定理知：,所以,即圆心到准线的距离大于圆的半径，所以圆与准线相离。同理：若曲线为双曲线，则圆与准线的位置关系是相交。评注：本题考查圆锥曲线的统一定义，直线与圆的位置关系。类比的关键在于推理过程的类比，由于定义的统一性，判断方法的明确性，因此，要抓住其实质进行判断，当时，圆与准线相切；当时，圆与准线相交；当时，圆与准线相离。练习：在椭圆中，A、B分别是左右顶点，过AB上任一点作直线轴，与椭圆交与C、D两点，连接AC、BD交与P,求动点P的轨迹；类比于此，对于双曲线和抛物线，类似的结论是什么？并加以说明。答案提示：若曲线是椭圆，则动点P的轨迹为双曲线； 若曲线是双曲线，则动点P的轨迹为椭圆；若曲线是抛物线，则动点P的轨迹是抛物线。二 圆与圆锥曲线的相似性圆在解析几何中占有一定的比重，也是高考的一个重点内容，那么它与圆锥曲线是否孤立呢？仔细研究教材（苏教版），课本上的例题涉及了圆与椭圆的联系，它们是可以通过伸缩变换而得到，实际上我们也可以通过几何画板形象的反映出它们之间的相互变化，当椭圆的两个焦点重合时，也就形成了圆。既然有相似之处，我们就可以通过类比研究有关的问题。例5：已知圆C的方程为，动点P为其上一点，设其坐标为，求证：该圆在点P处的切线方程为； 类比于此，对于椭圆，类似的结论是什么？并加以证明。分析：若动点P在坐标轴上，显然成立； 若动点P不在坐标轴上，可得切线的斜率为，由点斜式得直线的方程为，化简为: ,又因为点在圆上，所以所求切线方程为。类比椭圆与圆，我们有以下结论：已知P为椭圆上一动点，则椭圆在该点处的切线方程为：，证明从略。评注：本题通过类比推广，可以直接归纳概括出相应的结论。波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。为此，特提出以下教学建议：（1）根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。（2）在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯。（3）在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。（4）通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师 ”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐