2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第一课时）导学案 新人教A版必修4

31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第一课时)教材研读预习课本p128，思考以下问题1两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？2如何利用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？要点梳理1两角和的余弦公式cos()coscossinsin，简记为c()，其中，都是任意角2两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦sin()sincoscossin，简记为s()，其中，都是任意角(2)两角差的正弦sin()sincoscossin，简记为s()，其中，都是任意角自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()2存在，r，使得sin()sinsin成立()3对于任意，r，sin()sinsin都不成立()答案1.2.3.思考：比较cos()与sin()之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角，的正弦、余弦值表示sin()及sin()的公式提示：sin()coscoscoscossinsinsincoscossin.即sin()sincoscossin.从而sin()sin()sincos()cossin()sincoscossin.求值：(1)cos75；(2)sin(15)；(3).思路导引(1)将75写成3045，再利用两角和的余弦公式求解；(2)将15化为3045，再利用两角差的正弦公式求解；(3)观察题目中出现的角的关系，把47写成1730，然后运用公式求值解(1)cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin45.(2)sin(15)sin(3045)sin30cos45cos30sin45.(3)原式sin 30.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式【温馨提示】在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求跟踪训练(1)sin14cos16sin76cos74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解(1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30.(2)原式sin(54x)(36x)sin901 (1)已知sin，cos，且为第一象限角，为第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)已知，cos()，sin()，求cos2与cos2的值思路导引对于(2)2()()与2()()，先确定及角范围，再求的正弦值及的余弦值，最后代入公式求解解(1)(直接法)为第一象限角，为第二象限角，sin，cos，cos，sin，sin()sincoscossin，sin()sincoscossin.(2)(角的代换法)，0，.sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos2cos()()cos()cos()sin()sin().给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换常见的有：()，()，()()()()，(2)，2()()，2()()等跟踪训练已知0，sin，cos，求sin2的值解0，又sin，coscossin而sin2coscos思考：已知一个角的三角函数值能否确定这个角的大小？如何确定？提示：不能需要确定这个角所在象限设，为钝角，且sin，cos，则的值为()a.b.c.d.或思路导引由角、的范围及角的正弦，可求角的余弦，由角的余弦，可求得角的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意角的范围解析，为钝角，sin，cos，由cos，得sin，cos()coscossinsin.又2，.故选c.答案c(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，)，则选余弦函数跟踪训练已知，均为锐角，且sin，cos，求的值解，均为锐角，且sin，cos，cossin又0，0.0.cos()coscossinsin.化简：(1)(cosxsinx)；(2)3sinx3cosx.思路引导将asinxbcosx化成sin(x)形式解(1)(cosxsinx)22cos.(2)3sinx3cosx666cos.辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asinbcossin()(或asinbcos)cos()，将形如asinbcos(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质跟踪训练求函数ycosxcos的最大值解ycosxcosxcossinxsincosxsinxcos当x2k时，即x2k，kz时，函数有最大值为.课堂归纳小结1本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦公式，难点是公式的应用2要掌握两角和与差的正弦、余弦公式的四个应用(1)给角求值问题，见典例1；(2)给值求值问题，见典例2；(3)给值求角问题，见典例3；(4)辅助角公式，见典例4；3本节课的易错点：解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误.1在abc中，a，cosb，则sinc等于()a.bc.d解析cosb，b为锐角sinb.又sincsin(ab)sin(ab)sincosbcossinb答案a2sin45cos15cos225sin15的值为()a b c. d.解析原式sin45cos15cos(18045)sin15sin45cos15cos45sin15sin(4515)sin30答案c3sin(70x)cos(25x)cos(70x)sin(155x)_.解析(20x)(70x)90，(25x)(155x)180，原式cos(20x)cos(25x)cos90(20x)sin180(25x)cos(20x)cos(25x)sin(20x)sin(25x)cos(20x)(25x)cos45.答案