2012天津高考数学文科

2012天津文一、选择题 i是虚数单位,复数=（）A1-iB-1+i C1+iD-1-i 设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为（）A-5B-4 C-2D3 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 （）A8B18 C26D80 已知, , ,则, , 的大小关系为（）ABC D 0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则的最小值是（）AB1CD2 在ABC中,A=90,AB=1,AC=2,设点P,Q满足=,=(1-),.若=-2,则=（）ABCD2二、填空题 集合A=中的最小整数为_.一个几何体的三视图如图1-2所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.图1-2已知双曲线与双曲线C2: 有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则=_,=_.设m,n,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则AOB面积的最小值为_.如图1-3所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为_.图1-3已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是_.三、解答题某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学中学大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,列出所有可能的抽取结果;求抽取的2所学校均为小学的概率.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,b,c,已知=2,c=,cosA=-.(1)求sinC和b的值;(2)求cos的值.2012天津卷 如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,ADPD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.已知 是等差数列,其前n项和为, 是等比数列,且= =2, + =27, -=10.(1)求数列 与 的通项公式;(2)记Tn=+ +,n,证明Tn8= (n，).已知椭圆 ,点P在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.已知函数,R,其中0.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求的取值范围;(3)当=1时,设函数在区间t,t+3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.2012天津文参考答案一、选择题 C B C A A B D B 【解析】如图，设 ，则，又，由得，即二、填空题 -3 30 1,2 3 (0,1)(1,2) 三、解答题解:(1)从小学中学大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. (2)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种. 从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3种. 所以P(B)=. 解:(1)在ABC中,由cosA=-,可得sinA=,又由=及a=2,c=,可得sinC=. 由a2=b2+c2-2bc cosA,得b2+b-2=0, 因为b0,故解得b=1. 所以sinC=,b=1. (2)由cosA=-,sinA=, 得cos2A=2cos2A-1=-, sin2A=2sinAcosA=-. 所以,cos=cos2Acos-sin2Asin=. 解:(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且ADBC,又因为ADPD,故PAD为异面直线PA与BC所成的角. 在RtPDA中,tanPAD=2. 所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPD=D,因此AD平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD. (3)在平面PDC内,过点P作PECD交直线CD于点E,连接EB. 由于平面PDC平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角. 在PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得PCD=30. 在RtPEC中,PE=PCsin30=. 由ADBC,AD平面PDC,得BC平面PDC,因此BCPC. 在RtPCB中,PB=. 在RtPEB中,sinPBE=. 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为. 解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件,得方程组解得所以an=3n-1,bn=2n,n. (2)证明:由(1)得 Tn=22+522+823+(3n-1)2n, 2Tn=222+523+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1. 由-,得 -Tn=22+322+323+32n-(3n-1)2n+1 =-(3n-1)2n+1-2 =-(3n-4)2n+1-8, 即Tn-8=(3n-4)2n+1, 而当n2时,an-1bn+1=(3n-4)2n+1, 所以,Tn-8=an-1bn+1,n,n2. 解:(1)因为点P在椭圆上,故+=1,可得=, 于是e2=1-=, 所以椭圆的离心率e=. (2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0). 由条件得消去y0并整理得 x=. 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得,(1+k2)x+2ax0=0.而x00,故x0=,代入,整理得(1+k2)2=4k2+4. 由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直线OQ的斜率k=. 解:(1)f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f(x)=0,得x1=-1,x2=a0. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: (-,-1)-1(-1, )(,+)+0-0+极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a). (2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当 解得0a. 所以,a的取值范围是. (3)a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在-3,-1上单调递增,在-1,1上单调递减,在1,2上单调递增. 当t-3,-2时,t+30,1,-1t,t+3,f(x)在t,-1上单调递增,在-1,t+3上单调递减.因此,f(x)在t,t+3上的最大值M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t-3,-2时,f(t)f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在-3,-2上单调递增,因此f(t)f(-2)=-,所以g(t)在-3,-2上的最小值为g(-2)=-=. 当t-2,-1时,t+31,2, 且-1,1t,t+3. 下面比较f(-1),f(1),f