2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理导学案 新人教A版必修4

23.1平面向量基本定理教材研读预习课本p9394，思考以下问题1平面向量基本定理的内容是什么？2如何定义平面向量基底？3两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？要点梳理1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则aob叫做向量a与b的夹角范围0180特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1任意两个向量都可以作为基底()2一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底()3零向量不可以作为基底中的向量()答案1.2.3.思考：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示如图，梯形abcd中，abcd，且ab2cd，m，n分别是dc和ab的中点，若a，b，试用a，b表示，.解如图所示，连接cn，则四边形ancd是平行四边形则a；ba；ab.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练如图所示，已知在abcd中，e，f分别是bc，dc边上的中点若a，b，试用a，b为基底表示向量，.解四边形abcd是平行四边形，e，f分别是bc，dc边上的中点，2，2.b，a.babab.ba.思考：平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：存在不一样已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.思路导引利用图形作a与b及ab与ab，从而求得ab与a及ab与a的夹角解如图，作a，b，且aob60，以oa、ob为邻边作oacb，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以oab为正三角形，所以oab60abc，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形oacb为菱形，所以ocab，所以coa906030，即ab与a的夹角30，所以90.(1)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1，2是非零常数)的夹角为0，当120时，0.跟踪训练若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解由向量运算的几何意义知ab，ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如右图，|a|b|ab|，boa60.又ab，且在菱形oacb中，对角线oc平分boa，a与ab的夹角是30.如下图所示，已知aob中，点c是以a为中心的点b的对称点，2，dc和oa交于点e，设a，b.若，求实数的值思路导引由题知c，e，d三点共线，从而由求解解由题意知，ab2ab又(2ab)a(2)ab(2ab)b2ab而c，e，d三点线，.(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解跟踪训练如图所示，在oab中，a，b，点m是ab上靠近b的一个三等分点，点n是oa上靠近a的一个四等分点若om与bn相交于点p，求.解()ab，因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.课堂归纳小结1本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用2本节课要重点掌握以下三个问题(1)用基底表示向量，见典例1；(2)向量的夹角，见典例2；(3)平面向量基本定理的应用，见典例3.3.本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角.1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()ae1e2，e2e1b2e1e2，e1e2c2e23e1,6e14e2de1e2，e1e2解析显然向量e1e2与向量e1e2不共线，故选d.答案d2若k1ak2b0，则k1k20，那么下面关于向量a，b的判断正确的是()aa与b一定共线ba与b一定不共线ca与b垂直da与b中至少有一个为0解析由平面向量基本定理可知，当a，b不共线时，k1k20.答案b3设e1，e2为基底，e1ke2，2e1e2，3e13e2，若a，b，d三点共线，则k的值为()a2 b3c2 d3解析3e13e2(2e1e2)e12e2，a，b，d三点共线，即e1ke2(e12e2)，k2.答案a4ad与be分别为abc的边bc，ac上的中线，且a，b，则()a.abb.abc.abd.ab解析设ad与be的交点为f，则a，b.由0，得(ab)，所以22()ab.答案b5已知非