Chap3-lattice-vibration固体理论-晶格振动.ppt

第三章晶格振动与固体的热学性质,朱俊,微电子与固体电子学院,Latticedynamicsandheatpropertiesofsolids,晶格动力学一维单原子链一维双原子链固体的热性质爱因斯坦模型德拜模型,主要内容：,关键概念：声子，声学波和光学波,一、固体中热现象的研究历史,1、为什么要研究点阵动力学？,1907年，AlbertEinstein发表了题为“Planck辐射理论与比热的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应，并决定基本的物理性质，实际上是wave-particleduality概念(1924年)最早的不自觉应用。所以他的工作不仅是点阵动力学的开始，而且在量子理论的发展上也很重要。,1912年，PeterJosephWilliamDebye认识到，Einstein提出的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。,1912年，MaxBorn和TheodorevonKarman发表了题为“论空间点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形式存在。是点阵动力学的奠基之作。,1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在MaxBorn和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。,1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。,静止晶格理论不适用的地方(TheFailureofStaticLatticeModel)：,晶格结构一章中，所有讨论都是假设原子是静止的。实际上，根据经典热力学，原子的运动随着温度的增高而越来越剧烈。根据量子力学，因为测不准原理(UncertaintyPrinciple)的限制，甚至在绝对零度原子也不能静止。,如果晶格是静止的，固体的热性质(Thermalproperty)无法解释。例如:在绝缘体中，电子被束缚在各个原子周围，无法移动传导热量，因此绝缘体的导热必须由晶格原子的运动来解释。又比如:固体的热膨胀(Thermalexpansion)离开晶格的运动也是不可理解的。在高温下固体会溶解，显然，溶解过程没有晶格运动的参与是绝对不可能的。绝缘体除导电以外，还传导声波。同样，静止晶格模型是不能解释的。.,BCS超导体理论证明，没有晶格振动与电子运动的耦合(一对电子通过电子-声子的相互作用,结合成为CooperPair)，超导也不可能实现。,此外，离子晶体在红外区域(Infrared)有强烈的、单色性很好的反射(也就是共振)，反射能量大大低于电子的能级，因此必须用晶格振动来解释。,另外，在激光，X射线及中子的散射实验中，有频率偏移，漫散射及固定的能量损失，证明晶体中有具备特定能量(原频率只能是某些特定的值）的原子运动。,2、简谐近似模型,晶体中原子的平衡位置由原子结合势决定。平衡位置附近的一对原子间的净作用力正比于原子间距对平衡值的偏移：。晶体的形变可以用一个简单模型来表示：原子质量为M而相邻原子间有弹性系数(ElasticCoefficient)为K的弹簧相连。,简谐近似只考虑最近邻原子之间的相互作用,研究固体中原子的振动时的两个假设:1、每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上。2、原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以用谐振近似.在谐振近似(HarmonicApproximation)下,晶体中原子振动有精确解,大部分符合实验观测的结果。,原子的振动晶格振动在晶体中形成了各种模式的波格波latticevibrationwave,其基本思想如下：,1912年玻恩和卡门建立了晶格动力学理论或晶格谐振理论,1、一维单原子链声子的概念,二、晶格动力学latticedynamics,一维无限原子链每个原子质量m，平衡时原子间距a,平衡位置时，两个原子间的互作用势能,发生相对位移后，相互作用势能,和n无关，表明N个联立方程归为一个方程,简谐近似下，格波是简谐平面波,格波晶格原子集体振动的行为：,格波,波矢的取值和布里渊区的关系：,相邻原子位相差,原子的振动状态相同,两种波矢的格波中，原子的振动完全相同,波矢的取值,相邻原子的位相差,第一布里渊区,只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题其它区域不能提供新的物理内容,玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件,一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样,实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述,优点：协调有限和无限的关系缺点：忽略了表面少数原子和内部原子的差别,设第n个原子的位移,再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移,则有,要求,h为整数,波矢的取值范围,hN个整数值，波矢q取N个不同的分立值,第一布里渊区包含N个状态,波矢,格波的色散关系：,频率是波数的偶函数,色散关系曲线具有周期性,q空间的周期,色散关系,相邻原子之间的作用力,格波传播速度,连续介质弹性波相速度,连续介质的弹性模量和介质密度,长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波晶格可以看成是连续介质,长波极限情况,伸长模量,格波短波极限情况,一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质,短波极限下,相邻两个原子振动的位相相反,长波极限下，相邻两个原子之间的位相差,长波极限下,短波极限下,相邻两个原子振动位相差,晶格原子集体振动模式声子phonon的概念：,声子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子,为什么晶格振动的问题要用量子力学来处理？,根据量子力学，判定一个系统是经典系统还是量子系统的一个重要判据为测不准关系，即：,Et,也就是说：看该系统的粒子能量涨落与具有该能量的时间涨落的乘积是否与相当。,对于晶格振动，在室温下获得的热激发的平均能量为KBT0.026ev;另一方面，晶格振动的最高频率所对应的周期大致为10-13s,因此，对于晶格振动，Et2.610-15evs而=h/2=6.62/2110-15evs也就是说：对于晶格振动系统，Et是与相当的，因此，晶格振动问题必须用量子力学的方法来处理。,晶格原子集体振动模式声子phonon的概念：,一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为,当这种振动模处于时，说明有个声子,2、一维双原子链声学波和光学波,一维复式格子的情形一维无限长链,两种原子m和M_(Mm)_构成一维复式格子M原子位于2n-1，2n+1，2n+3m原子位于2n，2n+2，2n+4同种原子间的距离2a_晶格常数,系统有N个原胞,A、B有非零的解，系数行列式为零,第2n+1个M原子,第2n个m原子,方程的解,一维复式晶格中存在两种独立的格波,光学波,声学波,两种格波的振幅,色散关系的特点,不存在格波,长声学波中相邻原子的振动,3、声子能谱的测定晶格振动谱,晶格振动的频率和波矢间的关系晶格振动的振动谱,晶格振动的振动谱测定方法：中子非弹性散射X射线散射光子与晶格的非弹性散射,1).中子非弹性散射,中子的能量_0.020.04eV声子的能量_102eV两者具有相同的数量级,测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差确定声子的频率,2).光子与光学波声子的相互作用光子的拉曼散射,能量守恒,动量守恒,光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用,可见光或红外光k很小，光子与光波声子发生相互作用，要求声子的波矢q必须很小,散射光和入射光的频率位移,3).X光非弹性散射,三、固体的热性质ThermalPropertiesofSolids,固体可以被加热或被降温。一种固体每升高一度需要的能量，或每降低一度释放的能量，被称为该固体的比热(SpecificHeat)。不同固体比热的来源不同。,固体的定容热容,固体的平均内能,固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量,温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献,电子对比热的贡献,晶格振动对比热的贡献,实验结果：低温下，金属的热容,1、晶格振动对热容的贡献经典理论的回顾,一个简谐振动平均能量,N个原子，总的平均能量,摩尔固体热容,杜隆珀替定律,但实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零!,能量均分定律,2、晶格热容的量子理论(fromEinsteincontribution),一个频率为j的振动模对热容的贡献(fromPlanck),频率为j的振动模由一系列量子能级为组成,子体系,子体系处于量子态的概率,Boltzmannweight,一个振动模的平均能量,与晶格振动频率和温度有关系,一个振动模对热容贡献,振动模的平均能量,高温极限,与杜隆珀替定律相符,一个振动模对热容贡献,忽略不计,低温极限,与实验结果不相符!,一个振动模对热容贡献,晶体中有3N个振动模，总的能量为：,晶体总的热容,1）爱因斯坦模型,1907年，爱因斯坦在初步建立的量子论的观点上，受到1900年普朗克黑体辐射电磁波光子能量量子化启发，提出固体比热容的简单模型。他提出三个假设如下：,(1).固体中的原子都以同一个频率振动。振动的能量是量子化的；(2).每个原子都有三个自由度；(3).可以将1900年黑体辐射的一些基本概率和计算方法应用到固体的热容计算。,N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率0振动,一个振动模式的平均能量,晶体热容,总能量,爱因斯坦温度,选取合适的E值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合,大多数固体,爱因斯坦热容函数,金刚石,理论计算和实验结果比较,温度较高时,与杜隆珀替定律相符,晶体热容,温度非常低时,按温度的指数形式降低,实验测得结果:,爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别,晶体热容,2）德拜模型,PeterJosephDebye-1908年在慕尼黑大学获得博士学位。1911年去瑞士苏黎士大学接替AlbertEinstein的职位，担任理论物理学教授，注意到爱因斯坦的工作。1912年他改进了爱因斯坦的工作，获得了跟实验更加符合的固体比热容公式。1916年Debye和PaulSherrer一起，发展出X射线的粉末衍射法。1936年获诺贝尔化学奖。战后到美国。,他注意到1912年波恩的晶格动力学关于晶格振动波的色散，振动频率从零到红外的范围有很多的改变，并且认为频率低的即色散关系的低频部分对比热的贡献大。,1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质,有1个纵波和2个独立的横波,不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模,不同的振动模，能量不同,色散关系,三维晶格，态密度V:晶体体积,受边界条件限制波矢q分立取值，允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子,体积元,态的数目,q是近连续变化的,振动数目,From普朗克,频率在之间振动模式的数目,各向同性的介质,频率也近似于连续取值,振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数,一个振动模的热容,晶体总的热容,振动频率分布函数和m的计算,频率在之间，纵波数目,频率在之间，格波数目,频率在之间，横波数目,波矢的数值在之间的振动方式的数目,频率分布函数,格波总的数目,频率在间，格波数目,晶体总的热容,德拜温度,晶体总的热容,令,德拜热容函数,在高温极限下,晶体总的热容,与杜隆珀替定律一致,德拜热容函数,低温极限,T3成正比,德拜定律,温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度很低时，主要的只有长波格波的激发,晶体热容,晶体热容,在高温区，任何固体的比热都由经典热力学的杜隆-柏替定理（C=3R）决定，这是完全由点阵振动贡献的。在低温区，一般绝缘体的比热由晶格振动决定，德拜模型的结果与实验符合得很好。但是在极低温区，磁性绝缘体的比热主要由晶格振动和磁有序决定，金属导体的比热主要由晶格振动和传导电子决定，晶格振动的贡献是次要的。,德拜律与非磁性绝缘体的比热低温实验符合得非常好。德拜温度在各种固体中的值为：,在同族元素比较时，德拜温度随原子序数的增大而迅速减小。,从绝对零度到室温的范围内，铜的德