第六章状态反馈与状态观测器

第六章状态反馈和状态观测器,ModernControlTheory,目前为止，我们已经：建立了系统的状态空间模型提出了基于状态空间模型的系统的运动分析探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界”如何来“改变世界”？！设计控制系统！系统的控制方式-反馈？：开环控制、闭环控制,第六章状态反馈和状态观测器,第六章状态反馈和状态观测器,控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。,经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈,本章主要内容状态反馈与输出反馈极点配置问题状态观测器的设计,第六章状态反馈和状态观测器,6.1状态反馈和输出反馈,一、状态反馈1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端，与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。给定线性定常被控系统：,选取状态反馈控制律为：,状态反馈（增益）矩阵rn,参考输入，r1维矩阵,6.1状态反馈和输出反馈,代入可得，状态反馈系统：,2、基本结构,闭环状态反馈系统,原系统,状态反馈控制律：,6.1状态反馈和输出反馈,若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：,比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但通过K的选择，可以改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.,此时对应的传递函数矩阵为：,对应特征方程：,6.1状态反馈和输出反馈,二、输出反馈1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。,2、基本结构,（控制输入不直接作用到输出，即D=0）,输出反馈控制律为:,输出反馈系统,输出反馈矩阵rm,用输出信号,6.1状态反馈和输出反馈,输出反馈系统的状态空间表达式为：,输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当；,但H可供选择的自由度远比K小（因m小于n）；输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。,只有当HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。,对应的传递函数矩阵为：,6.1状态反馈和输出反馈,在不增加补偿器的条件下，输出反馈改变系统性能的效果不如状态反馈好，不能任意配置系统的全部特征值；,输出反馈在技术实现上很方便；而状态反馈所用的系统状态可能不能直接测量得到（需要状态观测器重构状态）。,与状态反馈相比较，输出反馈：,（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）,引入状态反馈和输出反馈后，系统的性能发生什么变化？,6.1状态反馈和输出反馈,6.1状态反馈和输出反馈,三、闭环系统的能控性与能观性,2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。,1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控性；但不保证系统的能观性不变。,证明思路：引入反馈前、后的能控性和能观性判别矩阵；矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。（过程略）,状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。,例6.1、试分析引入状态反馈前后系统的能控性和能观性。,能控,6.1状态反馈和输出反馈,能观,解：1）判断原系统的能控性，能观性。,2）引入状态反馈：,则：,可得：,能控,6.1状态反馈和输出反馈,不能观！,引入状态反馈后出现了零极点对消。,则：,6.1状态反馈和输出反馈,总结：,状态反馈效果佳输出反馈实现方便但能力有限,都不改变系统维数,不改变系统的能控性,不改变系统的能控性和能观性,（因为两种反馈形式均未增加新的状态变量）,系统性能：稳态性能和动态性能稳态性能：稳定性、静态误差动态性能：调节时间、响应速度.影响系统稳定性、动态性能的因素：极点位置（系统矩阵的特征值）通过反馈控制器的设计，可使得闭环系统的极点位于预先给定的期望位置。,6.2极点配置问题,6.2极点配置问题,定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。极点配置的方法：一、采用状态反馈()定理：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是：此被控系统状态完全能控。,6.2极点配置问题,()方法：,单输入单输出线性定常系统的状态方程为：若线性状态反馈控制律为：极点配置状态反馈增益阵K的设计步骤为：(1)、判断系统状态的能控性（极点配置可解的前提条件）。(2)、列写系统矩阵A的特征多项式确定出的值。,6.2极点配置问题,(3)、寻找使系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P，若给定的状态方程已是能控标准型，则：P=I。,(4)、写出期望的特征多项式并确定出的值。,(5)、求出变换前系统的状态反馈增益矩阵K:,6.2极点配置问题,例6.2、已知系统状态方程为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为。,解：（1）判断系统能控性,系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。,（2）系统的特征多项式为,（3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式,6.2极点配置问题,特征多项式的系数为,（4）根据,可求得,（5）计算能控标准形变换矩阵,其逆,6.2极点配置问题,其逆,因而，所要确定的反馈增益阵：,6.2极点配置问题,注意：1、选择期望极点是一个确定综合指标的复杂问题，应注意：(1)、对一个n维系统，必须指定n个实极点或成对的共轭极点；(2)、极点位置的确定要充分考虑它们对系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系；同时还要兼顾系统抗干扰性和对参数漂移低敏感性的要求。2、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影,6.2极点配置问题,响原系统零点的分布。但若故意制造零极点对消，则此时闭环系统是不能观的。3、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设计较困难。4、对于低阶系统（n3），求解状态反馈阵K时，并不一定要进行能控标准型的变换；可以直接计算状态反馈后的特征多项式（其系数均为k的函数），然后与闭环系统希望的特征多项式的系数相比较，确定出矩阵K。,例6.3考虑线性定常系统,希望使该系统的闭环极点为s=-2j4和s=-10。试设计状态反馈增益矩阵K。,6.2极点配置问题,利用状态反馈控制,解：能控性矩阵为,故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。,方法1：原被控系统的特征方程为：,6.2极点配置问题,期望的特征方程为：,因为原系统为能控标准型，可得：,6.2极点配置问题,方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为：,引入反馈后：,对应闭环系统的特征方程为：,期望的特征方程为：,6.2极点配置问题,相应有：,比较系数，所以：,二、输出反馈实现极点配置,输出反馈状态微分处,6.2极点配置问题,B,A,1/s,C,h,u,y,-,+,输出反馈至参考输入的极点配置：,引入输出反馈：,B,A,1/s,C,f,u,-,+,y,6.2极点配置问题,注意：关于输出反馈，有如下定理：定理：对完全能控的单入单出系统，不能采用输出反馈来实现闭环系统极点的任意配置。定理：对完全能控的单入单出系统，能采用输出反馈来实现闭环系统极点的任意配置的充要条件：带n-1阶的动态补偿器：引入的动态子系统，与被控系统间串联或反馈连接，通过增加系统零极点来改变根轨迹的走向。原被控系统完全能观,6.2极点配置问题,6.3状态观测器,状态观测器状态估计器状态重构,原系统状态：估计状态：状态观测器,问题的提出：极点的任意配置离不开全状态反馈；而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到的，有些甚至根本无法检测,状态观测或状态重构问题,6.3状态观测器,带观测器的闭环系统,b,1/S,C,A,状态观测器,k,-,观测器以原系统的输入u和输出y为其输入量；观测器的状态，应以足够快的速度接近实际原系统的状态，即满足。,1、基本原理,2、状态观测器的构成原系统：模拟系统：由于：实际中很难做到模拟系统与原系统的初始条件完全一致，即存在初始误差存在估计误差,6.3状态观测器,为了消除误差，在观测器中引入原系统和模拟系统输出的差值进行反馈。,1/S,u,+,+,1/S,+,G,-,观测器部分,6.3状态观测器,+,6.3状态观测器,进而，状态观测器的状态空间表达式为：,-观测器的系统阵,-观测器的输出反馈阵,3、状态观测器的设计,6.3状态观测器,结论：满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵的特征值具有负实部，且距虚轴越远则观测器的状态逼近实际状态就越快。所以，状态观测器的设计过程是：人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过来确定状态观测器的输出反馈阵G的取值。,6.3状态观测器,定理：若系统(A,B,C),(1)完全能观-充分条件；或者(2)不能观部分是渐近稳定-充要条件；,均可用如下的全维观测器对原状态进行重构：,适当选取,但，注意：观测器的极点可以任意配置的充要条件为：原被控系统状态完全能观。,方法一：验证原系统的能观性。观测器的特征多项式：希望的闭环系统的特征多项式：比较两者的系数，确定G。,6.3状态观测器,状态观测器设计步骤（求解输出反馈阵G）：,6.3状态观测器,方法之二：(1)、判断系统状态的能观性(2)、列写原系统矩阵A的特征多项式确定出的值。,(3)、确定使系统状态方程变换为能观标准形的变换矩阵T。若给定的状态方程已是能观标准型，则:T=I。,6.3状态观测器,(4)、由状态观测器的设计极点确定观测器的期望特征多项式：并确定出的值。,(5)、求出输出反馈增益矩阵G:,6.3状态观测器,例6.3已知系统,设计状态观测器使其极点为,解：方法一：（1）检验可观性,满秩，系统可观，可构造观测器。,（2）原系统特征多项式为：,（3）确定将系统化为能观标准型的变换矩阵（第四章知识，过程略）,6.3状态观测器,（4）根据期望极点得期望特征多项式,（5）求出反馈阵G,（6）观测器方程为：,比较特征多项式系数，可得,又，根据期望极点得到的期望特征多项式为：,比较特征多项式系数，可得,观测器的特征多项式为：,方法二：检验能观性（略）,两种方法，结果相同。,6.4采用状态观测器的状态反馈系统,带有全维状态观测器的状态反馈系统如图所示。,带有渐近状态观测器的状态反馈系统,设能控且能观的被控系统的状态空间表达式为,(66),渐近状态观测器的状态方程为,(67),利用观测器的状态估值所实现的状态反馈控制律为,(68),将式（68）代入式（66）、式（67）得整个闭环系统的状态空间表达式为,（69）,即,(70),这是一个2n维的复合系统。为便于研究复合系统的基本特性，对式(5-70)进行线性非奇异变换,(71),则,（72）,式（72）表明，带渐近状态观测器的状态反馈闭环系统不完全能控，状态观测误差是不能控的。控制信号不会影响状态重构误差的特性，只要将A-GC的特征值均配置在复平面的左半开平面的适当位置，观测误差总能以期望的收敛速率趋于零，这正是渐近观测器的重要性质。,由于线性变换也不改变系统的特征值，根据式（72）可得2n维复合系统的特征多项式为,由于传递函数阵在线性非奇异变换下保持不变，因此，可据式（72）求2n维复合系统的传递函数阵为,2n维复合系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵，即观测器的引入不改变直接状态反馈控制系统的传递函数矩阵。,(73),式（73）表明,由观测器构成状态反馈的2n维复合系统，其特征多项式等于矩阵A-BF的特征多项式与矩阵A-GC的特征多项式的乘积。即2n维复合系统的2n个特征值由相互独立的两部分组成：一部分为直接状态反馈系统的系统矩阵A-BF的n个特征值；另一部分为状态观测器的系统矩阵A-GC的n个特征值。复合系统特征值的这种性质称为分离特性。,只要被控系统能控能观，则用状态观测器估计值形成状态反馈时，可对的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计，即先按闭环控制系统的动态要求确定A-BF的特征值，从而设计出状态反馈增益阵F；再按状态观测误差趋于零的收敛速率要求确定A-GC的特征值，从而设计出输出偏差反馈增益矩阵G;最后，将两部分独立设计的结果联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。,【例】被控系统的状态空间表达式为,试设计极点为-3,-3的全维状态观测器，构成状态反馈系统，使闭环极点配置为和。,解若此被控系统能控能观，则可分别独立设计状态反馈增益阵F和观测器偏差反馈增益矩阵G。,解(1),所以被控系统状态完全能控能观，即可通过状态反馈任意配置闭环系统极点，也可设置全维状态观测器。,(2)状态反馈任意配置极点，确定闭环系统期望特征多项式,闭环系统期望极点为，对应的期望闭环特征多项式为,则，,(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵,对被控系统，引入状态反馈后的闭环系统特征多项式为,令，即，比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程,解之得，,(4)据被控系统状态空间表达式和所设计的状态反馈增益矩阵F，可画出状态反馈后的闭环系统状态变量图如图所示。,(5)确定闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式,观测器系统矩阵的期望特征值为，对应的期望特征多项式为,则，,6)求所需的观测器偏差反馈增益矩阵,观测器系统矩阵的特征多项式为,令，即比较等式两边同次幂项系数,得如