高中数学函数的单调性教案(一)新课标 人教版 必修1(B)

函数的单调性(1)三维目标一、知识和技能1.让学生理解函数单调性的概念，并能判断给定区间内一些简单函数的单调性。2.激发学生发现和提出问题，培养学生分析和理解问题以及创造性解决问题的能力。3.通过观察猜想推理证明这一重要的思维方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。二。过程和方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义教育。2.询问和活动，认真理解和考虑问题，推理清楚。第三，情感态度和价值观对生命成长和衰落的理性描述。教学重点理解函数单调性的本质，明确单调性是一个局部概念。教学困难函数单调性的定义证明了特定函数的单调性。教具多媒体课件。教学过程首先，创建引入新类的场景老师：我们在初中已经学会了如何画功能图像。为了研究函数的性质，我们分别画出函数y=x2和y=x的图像。y=x2的图像如图1所示，y=x的图像如图2所示。请观察这两个功能图像，然后指出这两个功能图像有什么特征。(1) (2)健康：从函数y=x的图像(图2)中，我们可以看到图像从左到右上升。从函数y=x2的图像(图1)中，我们可以看到图像在y轴的右侧上升，在y轴的左侧下降。老师：是的。他(她)回答得很好。这是两种功能的主要区别。函数图像的“上升”和“下降”反映了函数的基本属性的单调性。你如何描述函数图像的“上升”和“下降”？健康：函数y=x2的图像“下降”在y轴的左侧，也就是说，当x在区间(-，0)取值时，相应的y值随着x的增加而减小；图像在y轴的右侧“上升”，也就是说，当x取区间0中的值时，相应的y值随着x的增加而增加老师：答案很好。对于y=f(x)=x2，如果取x1和x2 0，)得到y1=f(x1)和y2=f(x2)，那么当x1 x2，y1 y2存在时，我们说函数y=f(x)=x2是0上的增函数，)。当在区间(-，0)上取x时，相应的y值反而随着x的增加而减小。也就是说，如果取x1和x2 (-，0)，得到y1=f(x1)和y2=f(x2)，那么当x1 y2存在时，然后我们说函数y=f(x)=x2是(-，0)上的负函数。函数的这两个性质是我们今天要研究的。我们根据具体函数(原函数、二次函数、正比例函数和负比例函数)的图像，研究了函数的函数值随着自变量的增加而增加或减少的性质。这些研究结论是从图像中直观地获得的。在函数集中，许多函数都有这个属性。因此，我们需要对函数的这一性质做进一步的一般性讨论和研究。这是我们今天课的内容。(指出这节课的内容不仅是已知的知识，而且是吸引学生注意力的新知识。)写在黑板上：单调性和最大(最小)值(1)第二，解释新课老师：请打开课本的第33页，阅读增函数、减函数和单调区间的定义。(学生大声朗读)老师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请思考一个问题：这个定义与我们刚才讨论的随着自变量X的增加而增加或减少的函数值Y一致吗？如果是，在定义中是如何描述的？健康：我认为这是一致的。“当x1 x2时，有f (x1) f (x2)”的定义描述y随着x的增加而增加；“当x1 f (x2)”描述y随着x的增加而减少。老师：没错。该定义使用两个简单的不相等关系“x1 x2”和“f (x1) f (x2 )”,它们描述了函数的单调递增或递减性质。数学语言是多么简洁，这就是数学的魅力！(通过教师的情感感染学生，激发学生学习数学的兴趣)老师：现在请跟我来看看图(3)和(4)，分别是函数y=f1(x)和y=f2(x)的图像，来实现这个魅力。(3) (4)(参考图纸说明并并行执行)教师：在图3中，对于区间a，b上的任何x1和x2，y=f1(x)，当x1 x2时，存在f1 (x1) F2 (x2)，当x1 x2时，因此y=f2(x)在区间a，b上单调减小，并且区间a，b是函数y=f2(x)的单调减小区间。(教师用图表解释分析的定义，使学生将函数的单调性定义与视觉形象相结合，整合新旧知识，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思维方法)老师：所以我们可以说，增长函数，就其本质而言，对应于相应区间中的一个更大的自变量.(不要说完，指的是一个学生说完话后，让学生的思维一直跟随老师)健康：具有较大函数值的函数。老师：减法函数怎么样？健康：一种函数，其中较大的独立变量对应于相应区间中较小的函数值。(学生可能没有给出完整的答案，老师应该让他这样说。)老师：好的。我们刚刚对增函数和减函数的定义做了初步的分析。通过阅读和分析你认为我们应该在定义中把握哪些关键词，我们可以对定义有更透彻的理解？(学生思考)学生在高中和以后的学习中经常会遇到一些概念(或定义)。能否掌握定义中的关键词是他们正确深刻理解和掌握概念的重要条件，也是他们学好数学和其他学科的重要环节。因此，教师应该教学生如何深刻理解一个概念，从而培养学生分析和理解问题的能力。(在学生思考的过程中，老师再次动情地朗读定义，并注意关键词的适当强调。当学生感到无法开始时，他们会给出适当的提示。)学生：我认为在定义中有一个词“定义域I中的某个区间d”作为定义中的关键词。老师：很好，当我们学习任何概念时，我们应该善于抓住定义中的关键词。当我们研究几个相似的概念时，我们也应该注意它们之间的区别。例如，反比例函数y=在(-，0)，(0，)内单调递减，那么我们能说它是一个域内的减法函数吗？健康：否。递增函数和递减函数都是针对域中的相应区间。如果域中没有相应的间隔，函数就不会增加或减少。老师：答案非常准确。函数的单调性是针对域中相应的区间的，因此它受区间的限制。不同时间间隔的增加和减少是不同的。请继续思考一个问题。当x=5时，我们能说函数增加或减少吗？为什么？健康：不是。因为此时函数值是一个数字。老师：是的。在函数的某一点上，因为它的函数值是唯一确定的常数(注意这四个字是“唯一确定的”)，所以没有增减变化。因此，如果端点在定义的范围内，包括但不包括端点，就需要用一个封闭区间来表示“可以封闭或封闭”。那么，我们能不能从区间上讨论一个函数是一般的增函数还是减函数？你能给我们举一个我们学过的例子吗？健康：否。例如，二次函数y=x2在Y轴左侧是负函数，在Y轴右侧是递增函数。因此，我们不能说y=x2是增函数或减函数。(当学生们老师：好的。何(她)举了一个例子来帮助我们理解定义中的“给定区间”一词，它表明函数的单调性是函数在一定区间内的性质，但这并不排除某些函数在其域内是增函数或减函数。因此，我们在谈论将来函数的增减时，必须指定相应的区间。老师：还有其他关键词吗？健康：在定义中也有“在某个区间d上的任意两个”和“都有”作为关键词。老师：你说得对。你能解释为什么吗？(学生可能无法回答所有问题；教师应该给出必要的提示)老师：“去”是什么意思？健康：也就是说，两个独立变量x1和x2必须取自给定的区间，而不能取自其他区间。老师：如果它是一个封闭的区间，它能从区间的末端取吗？健康：是的。老师：你怎么理解“武断”和“都有”？健康：“任意”是指不能用一个特定的值来判断一个函数的增减，而“全部有”是指只要x1 x2，f(x1)必须全部小于f(x2)，或者f(x1)必须全部大于f(x2)。老师：你能构造一个反例来说明“任意”吗？(让学生思考片刻)健康：可以构建反例。考虑函数y=x2，如果取两个特定值x1=-1，x2=1，显然x1 f(x2)；当x1=1，x2=2时，有f (x1) b，那么它们的差a-b大于零；如果a=b，那么它们的差a-b等于零；如果a b，那么它们的差a-b小于零，反之亦然。因此，我们可以通过差值的符号来确定这两个数的大小关系。(面板)如果V1和V2是域(0，)上的任意两个实数，并且v1 0。从v1 0。k 0，所以p (v1)-p (v2) 0，即p (v1) p (v2)。因此，函数p=，V(0，)是一个递减函数。也就是说，当体积v减小时，压力将增加。老师：他证明的想法很清楚。首先，让V1和V2成为(0，)中的任意两个独立变量，让v1 v2(用彩色粉笔在相应的句子下面划线，并标记“ set”)，然后看p (v1)-p (v2)。这一步是证明的关键，然后使公式变形。一般的方法是将因子分解或匹配成完全平方的形式。这一步可以概括为“有所作为并变形”(同上，画一条线并标记“ 有所作为，变形”)。这里必须说明变形公式的符号。应该说明“因为V1，V2(0，)，V1 0被获得，并且v2-v1 0被从V1 0，那么p (v1)-p (v2) 0，即p (v1) p (v2。”这个步骤可以概括为“固定符号”(在黑板上执行，并标记为“ 固定符号”)。最后，作为一个证明主体，必须有一个结论，我们称之为“固定符号”这是我们用来定义和证明函数增减的四个步骤。请记住，在第二步中，如果函数y=p(V)在给定的区间内总是大于零，我们还可以通过证明当0 v1 0)在整个域中是一个单调函数吗？用这个定义来证明你的结论。老师：反比例函数f (x)=(k 0)的定义域是什么？玻恩：f (x)=(k 0)的定义域是(-