【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题

1 2011-2015 年 上海初中自主招生数学 试题及答案 2 目录目录 2004 年交大附中自主招生数学试题及答案. 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案. 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）. 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）.13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）.14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）.16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案.17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案.20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案.23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案.25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案.27 2014 年华师二附自主招生数学试题. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案.39 3 2004 年交大附中自主招生数学试题及答案年交大附中自主招生数学试题及答案 （本试卷满分（本试卷满分 100 分，分，90 分钟完成）分钟完成） 一、单项选择题：单项选择题： （本大题满分 30 分） 本大题共有 10 个小题， 每小题给出了代号为A、B、 C、D四个答案，其中有且只有一个答案是正确的请把正确答案的代号写在题后的 圆括号内每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在 圆括号内） ，一律得零分 1.计算 1 3 42 2 2 1 393 9 ，得（） A 11 9 B1C 5 9 D 1 9 2.如果ab，那么下列结论正确的是（） A 22 acbcB34abC32abD 11 ab 3.已知等腰梯形的中位线长为 12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2:1， 则梯形的两底长分别为（） A8，16B10，14C6，18D4，20 4.如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是（） A相交B外离C内切D外切 5.设 2 20042004f xxx， （ fx表示关于x的函数，如 2 002004 020042004f， 2 20042004f mmm）若 f mf n， 则f mn（） A0B2004C-2004D20 6.若三角形的三个内角A、B、C的关系满足3AB，2CB，那么这个三角形是 （） A钝角三角形B直角三角形 C等边三角形D非等边的锐角三角形 7.如果A是锐角，且 3 sin 4 A ，那么（） A030A B3045A C4560A D6090A 4 8.观察右图，根据规律，从 2002 到 2004，箭头方向 依次为（） ABCD 9.已知一组数据 6，8，10，x的中位数与平均数相等，这样的x有（） A1 个B2 个C3 个D4 个以上（含 4 个） 10. 点P是矩形ABCD内一点，如果3PA ，4PB ，5PC ，则PD的长度是（） A 7 2 B5 2C2 3D3 2 二、填空题：填空题： （本大题满分 36 分）本大题共有 12 个小题，各小题只要求在横线上方填写最 终、最准确的结果，每题填写正确得 3 分，否则一律得 0 分 11. 若实数x满足 2 1 1x x ，则 5 2xx的值为_ 12. 在ABC中，90C，如果 3 sin 5 A ，那么B的余切cot B _ 13. 若方程 2 1xxk恰有三解（相等实根算一解） ，则k的值是_ 14. 把抛物线 2 32yx向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于点 1,0 A x与 2,0 B x，如果 22 12 10 xx，那么k的值为_ 15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量， 先网出 100 条鱼， 做上标记后全部放回 鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼 约有_条 16. 如图，四边形ABCD中，ADC和ABC都是直角， DE垂直于AB，AD边与CD边长度相等已知四边 形ABCD的面积为 16，那么线段DE的长度是 _ 17. 在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，如 果延长BE交AC于F，那么:AF FC _ 18. 如图，ABC中，已知ABAC，DEF是ABC的内接正三角形，BDF ， CED ，AFE ，则用、表示的关系式是_ D C ABE 第 16 题 0347811 1256910 5 19. 若扇形的圆心角是60，则该扇形面积与其内切圆面积的比值 是_ 20. 有红、白、绿、蓝 4 种颜色的袜子各 100 只，在黑暗中至少要 摸出_只袜子，才能保证摸出的袜子至少有 18 双（每 两只同色袜子叫做一双） 21. 在数集上定义运算ab，规则是：当ab时， 3 abb； 当ab时， 2 abb根据这个规则，方程464x的解是_ 22. 小于 1000 的自然数中，不能被 5 和 7 整除的数有_个 三、解答题：解答题： （本大题满分 34 分）本大题共 3 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 23. （本题满分 10 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 3 分，第 3 小题满分 4 分 如图，在Rt ABC中，90ABC，O是AB上一点， 以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E， 与AC切 于点D，且2AD ，1AE 求： （1）O的直径的长； （2）求BC的长； （3）求DBA的正切tanDBA C E A F B D 第 18 题 第 23 题 C D AEOB 6 24. （本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 4 分 已知圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A、B、C三点的 坐标分别是2,0A 、12,0B、0,4C， （1）求点D的坐标； （2）求圆心M的坐标； （3）若一抛物线过A、B、C，另一抛物线过A、B、D，求两条抛物线顶点间 的距离 C A D O M B 第 24 题 25. （本题满分 12 分） 求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的 两倍 7 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案年华师二附自主招生数学试题及答案 一、填空题（每题一、填空题（每题 4 分）分） 1.已知关于x的多项式 752 12axbxxx（a、b为常数） ，且当2x 时，该多项 式的值为8，则当2x 时，该多项式的值为_ 2.已知关于x的方程 2 210 xaxa 的两实根 1 x、 2 x满足 22 12 4xx，则实 数a _ 3.已知当船位于A时获悉，在其正东方向相距 10 海里的B处有一艘渔船遇险等待营 救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30、相距 10 海里C处 的乙船，试问乙船应该朝北偏东_的方向沿直线前往B处救援 4.关于x、y的方程组 1 xyxy xy y x 有_组解 5.已知a、b、c均大于零， 且 2 22420aabacbc， 则abc的最小值是_ 6.已知二次函数 2 25yxpx，当2x 时，y的值随x的值增加而增加，那么 xp对应的y值的取值范围是_ 7.如图所示， 正方形ABCD的面积设为 1，E和F分别是AB和 BC的中点，则图中阴影部分的面积是_ 8.在直角梯形ABCD中，90ABCBAD ，16AB ，对 角线AC与BD交于点E，过E作EFAB于点F，O为边 AB的中点，且8FEEO，则ADBC的值为_ 9.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 轴上截取从 0 到 1 对应的线段，对折后（坐标 1 所对 应的点与原点重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线 段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 1 3 , 4 4 变成 1 2 ， 原来的 1 2 变成 1，等等） ，那么原数轴从 0 到 1 对应的线段上（除两个端点外）的 点，在第n次操作完成后（1n ） ，恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标为 _ A BC D E F 0 1 2 1 8 10. 定义min, ,a b c表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则 11 min,Mxy yx 的最大值是_ 二、计算题（二、计算题（20 分）分） 11. 四个不同的三位整数首位数字相同， 并且它们的和能被它们中的三个数整除， 求这 些数 （10 分） 12. 如图，已知PA切O于A，30APO，AHPO于H，任作割线PBC交O 于点B、C，计算 HCHB BC 的值 （10 分） A P B C H O 9 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）年上海中学自主招生数学试题及答案（部分） 1.如图， 已知锐角ABC中，45BAC，CE、AD分别是边AB、BC上的高， 联结DE， 求证：2ADCDDE A BC D E E F C D B A 2.如图，已知在ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且 90BADCAE ，AM为ABC中BC边上的中线，连接DE （1）求证：2DEAM； （2）若AGBC于点G，H为直线AG和DE的交点，求证：H为DE中点 A BC MG H E D 3.如图，在ABC中，ABAC，BD、CD平分ABC，点D在ABC内，过点D作EF BC请问：EF与BE和CF有什么关系？ A BC EFD 10 4.已知：在ABC中，ABAC，72B （1）如何才能将ABC划分成三个等腰三角形？请画出至少 4 种不同的图形； （2）如何才能将ABC划分成四个等腰三角形？请画出至少 3 种不同的图形 5.如图，在正三角形ABC中，其中AFBDCE，AD、BE、CF两两相交于P、Q、 R求证：PQR为正三角形 A B C D E F P Q R 11 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案年复旦附中自主招生数学试题及答案 1.若xab， 22 yab，则 22 xyxy_ 2.x，y 满足 2 2yxpx，若xy最大值为 2，则复实数_p 3. k y x 上一点 C，以 C 为圆心，1 为半径画圆，圆上有 2 点到 O 点距为 2，则 k 取值范 围_ 4.直径为 MN 的半圆与 MA，NB 相切P 为 MN 上一点，PFAB，若 AB 与半圆相切， 则 AB PBPA 最大值为_ 5. 6.已知BAC与内部一点 M，因纸太小 A 点画不下，求做一直线经过 M，A（尺规作图） 7.矩形ABCD 中，BCAB3， 将矩形折叠， B落在 AD 上点 M 处， C 落在N 处， 求 AM FBEC MN A F B P B M C A M D N F C B E 12 8.设 21,x x为02 2 ppxx的两根，P 为实数 求证032 2 21 pxpx 当32 21 pxx时，求 P 的最大值 9.实数 1 a， 2 a， n a满足： 0 21 n aaa 1 21 n aaa 求证：k 个数（k=1，2，3，n） ， 2 1 21 k aaa 10. 锐角ABC中， AD， BE， CF 分别为 BC， AC， AB 边上的高， 设aBC ，bAC ，cAB ， xBD ，yEC ，zAF 用a，b，c表示 x 当a，b，c满足什么关系时，有cbazyx2？ 13 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分） 1.已知abc，bca，cab，求abc的值 2.已知 22 17 66 xyxy x yxy ，求 432234 xx yx yxyy的值 3.若 a、b、c 为正有理数，证明： 若ab为有理数，则a、b为有理数， 若abc为有理数，则a、b、c为有理数 14 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）年华二附中自主招生数学试题与答案（部分） 1.在Rt ABC中90AABaACb，在 AC 上有一点 E，在 BC 上有一点 F， BEEFAEx， EFC Sy ，求y与x的函数关系 2.定义111 ，111 1nn ，求1n 3. 2 2 1328 ( ) 2114 axaxa f x axaxa 定义域为 D，( )0f x 在定义域 D 内恒成立，求a的 取值范围？ 4.已知： 2222 114 abab ，求 20122013 ba ab = 5.如图，有棋子摆成这样，求第 n 幅图有颗棋子 15 6.如图， 在矩形ABCD中2AEBE， 将ABEDEC、分别沿BEEC、翻折，15D EA， 求ECB_ 7.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，第 2013 个数是_ 8.已知：xy、为有理数，且满足 21 3 3 4 xy，求( , )x y E D C D A A B A 16 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）年交大附中自主招生数学试题及答案（部分） 1.有理化 135 1 2.等边ABC重心为 O，1 ABC S，以 O 为旋转中心旋转60得A B C ，则ABC与 A B C 的重叠面积为_ 3.2ba，7cb 求acbcabcba242332 222 4.用两条直线分割下图，使拼成正方形 5.如图，有半径为 2 的圆 A，A0,1，直线kxy过 A，与圆交于 P 11,y x，Q 22,y x， 0 1 y，D3 , 0 求 P，Q 坐标 以 P 为顶点的抛物线过 A，求解析式 在抛物线对称轴上有一点 M，使DMQ的周长最大，求 M 6. A C B B O A C y xO12345 1 2 3 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 A Q P D 17 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案年上海中学自主招生数学试题及答案 一、填空题（本部分共一、填空题（本部分共10道题，每题道题，每题8分，共分，共80分）分） 1.计算 111 122320122013 _. 2.设x，y，z为整数且满足 20122013 1xyyz，则代数式 333 xyyzzx 的值为_. 3.若有理数a，b满足 21 3 3 4 ab，则ab_. 4.如图，在ABC中，3AC ，4BC ，5AB ，线段DEAB，且BDE的面积 是ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为_. 5. 二次函数 2 0yaxbxc a的图像与x轴有两个交点MN、， 顶点为R， 若MNR恰 好是等边三角形，则 2 4bac_. 6.如图为 25 个小正方形组成的5 5 棋盘，其中含有符号 “ ” 的各种正方形共有19个. 18 7.平面上有 n个点，其中任意三点都是直角三角形得顶点，则n的最大值为4. 8.若方程 22 14xxk有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 实数k 7 4 . 9. 一个老人有n匹马，他把马全部给两个儿子，大儿子得x匹，小儿子得y匹(1)xy， 并且满足x是1n 的约数，y也是1n 的约数，则正整数n共有_种可能得取值？ 10. 已知0a 且不等式12ax恰有三个正整数解，则当不等式23ax含有最多的整数 解时，正数a的取值范围为_. 二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题 15 分，后两题每题分，后两题每题 20 分，共分，共 70 分，要求分，要求 写出必要的解题步骤）写出必要的解题步骤） 11. 设方程 2 10 xx 的两个根为a b、，求满足 ,11f ab f ba f的二次函数 f x. 12. 已知 1 123 2 n n n ，这里n为任意正整数，请你利用恒等式 3 32 1331nnnn，推导出 2222 123n的计算公式. 19 13. 解方程组： 22 22 22 1 () 2() 3() xyz yzx zxy 14. 已知ABC，5AC ，6AB ，7BC ， 111 ABC中， 1 AA， 1= BB，但 111 ABC 的大小和位置不定， 当 1 A到BC的距离为3， 1 B到AC的距离为1， （如图） ， 问： 1 C到AB 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 20 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案年交大附中自主招生数学试题及答案 一、填空题一、填空题 1.在 ABC 中 ， 设CAa ，CBb ，P是 中 线AE与 中 线CF的 交 点 ， 则 BP （用, a b 表示） 2.已知a是正实数，则 2 a a 的最小值等于 3.正整数360共有个正因数 4.小明负责小组里 4 个同学的作业本的收发， 但做事比较马虎。 如果他随机的分发 4 个同 学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 5.计算： 1 32 2 6.计算： 111 1 22320132014 7.一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么 L _. 8.满足方程： 42 1 mn 的正整数有序数对,m n的个数为 9.已知实数 x 满足 2 2 6 241 2 xx xx ，则 2 2xx的值为 21 10. 直线1xy与反比例函数 k y x 的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 象限 11. 平面上边长为 1 的正方形 ABCD 绕着其中心旋转45得到正方形 ABCD，那么这两个 正方形重叠部分的面积为 12. 请在下列表格的 9 个小方格中分别填入数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每 列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填 1 种答案） 13. 在前 1000 个整数 1，2，3，1000 中，数码 1 共出现了次 14. 设0, 2A，4,2B是平面直角坐标系中的两点，P 是线段 AB 垂直平 分线上的点， 如果点 P 与点1,5C的距离等于2 2， 则点 P 的坐标为 15. 方程组 2173142 3142172 xy xy 的解为 16. 坐标原点0,0关于直线4yx翻折后的点的坐标为 二、解答题二、解答题 17. 已知，在ABC 中，1ACBC，36C ，求ABC 的面积 S 22 18. 已知二次函数 2 yaxbxc的图像抛物线经过3,0A ，1,0B两点，,4M t是其顶 点。 （1）求实数, ,a b c的值； （2）设点4, 6C ，1, 1D，点 P 在抛物线上且位于 x 轴上方，求当CDP 的面积达到 最大时点 P 的坐标 19. 证明2不是有理数 23 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案年进才中学自主招生数学试题及答案 1.如图 3，直线l上有三个正方形, ,a b c，若, a c的 面积分别为 5 和 11，则b的面积为_ 2.化简 1111 21324320132012 3.如图 4，弧BE是半径为 6 的D的 1 4 圆周，C点是弧BE上的任 意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长的取值范 围是_ 4.若 22 3894613,Mxxyyxyx yR，则M_0 5.如图 5，所有的正方形的中心都在坐标原点，且各边与坐标 轴平行从内到外，他们的边长依次为 2，4，6，8，顶 点依次用 1234 ,A A A A 表示，则顶点 35 A的坐标是什么？ 6.直角三角形的三个顶点均在抛物线 2 yx上，并且斜边平行 于横轴求斜边上的高的可能取值 7.如果, x y是非零实数，并且 3 3,0 xyxyx，那么xy=_ 8.若2x ，则 2 613 3 xx y x 的最大值是_ ac b l 图 3 E D C B A 图 4 图 5 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A y x 24 9.若不等式组 2xa xa 的解集中仅有 5 个整数解，则a的取值范围是_ 10. 如图 6，等腰直角三角形ABC的一直角边AB在直线L上，将该三角形绕着顶点B顺 时针方向旋转至边BC落在直线L上， 再绕顶点C顺时针旋转至边CA落在直线L上 若 1AB ，则顶点A的运动轨迹与直线L围成的图形 的面积是多少？ 11. 某商场在节日期间举行促销活动，规定： （1）若所购商品标价不超过 200 元，则不给与优惠； （2） 若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元， 则超过 200 元的部分给与九折优惠； （3）若所购商品标价超过 500 元，其 500 元（含 500 元）的部分按第二条给与优惠， 超过 500 元的部分给与八折优惠 某人在该商场购买了一件电器共节省了 330 元，则该家电商品在商场的标价为多少？ 12. 如图 7，锐角ABC中2 3,60ABBAC，BAC的 平分线交BC于点D，,M N分别是,AD AB上的动点， 则 BMMN的最小值是几？ 13. 我们把直角坐标系内横、纵坐标均为整数的点称为整点设一次函数ykxb的图像 为直线l，下列说法正确的是（） A不存在只经过一个整点的直线l B若系数都是有理数，则直线l一定经过无穷多个整点 C若系数都是无理数，则直线l不经过任何整点 D若直线经过两个整点，则直线l一定经过无穷多个整点 14. 定义 x为不超过x的最大整数，则方程 2 2310 xx 的解的范围是什么？ AB C(A) C B A 图 6 A B C N M D 图 7 25 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案年上海中学自主招生数学试题及答案 一、填空题 1.已知 111 abab ，则 ba ab _ （错题） 2.有_个实数x，可以使得120 x为整数？ 3.如图，ABC中，ABAC，CDBF，BDCE， 用 含A的 式 子 表 示EDF 应 为 EDF_ 4.在直角坐标系中，抛物线 22 0yxmxmm与 x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足 112 3OBOA ，则m _ 5.定圆A的半径为 72，动圆B的半径为，72r ，且r是一个整数动圆B保持内 切与圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切 点是同一点则r共有个可能的值 6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐 4 人，就余下 20 人；如果每船坐 8 人，那 么就有一船不空也不满，则学生共有_人？ 7.对于互不相等的正数数组 123 , n a a aa（n是不小于 2 的正整数） ， 如果在ij时 有 ij aa，则称 i a与 j a是该数组的一个逆序例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2， 1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其逆序数为 4现若各数各不相同的正数数组 123456 ,a a a a a a的逆序数为 2，则 654321 ,a a a a a a的逆序数是_ 8.若n为正整数，则使得关于x的不等式 1110 2119 x xn 有唯一的整数解的n的最大 值为_ 二、选择题 9.已知 2 12xax能分解成两个整系数的一次因式的积， 则符合条件的整数a的个数 为（） A3B4C6D8 E A F B D C 26 10. 如图，D、E分另为ABC 的底边所在的直线上的两点，DBEC，过 A 作直线 l，作 DMBA 交 l 于 N，设ABM 面积为 S1，ACN 面积为 S2，则（） A 12 SSB 12 SSC 12 SSD无法确定 11. 设 1 p、 2 p、 1 q、 2 q为实数，则 1212 2p pqq若方程甲： 2 11 0 xp xq；乙： 2 22 0 xp xq则（） A甲必有实根，乙也必有实根B甲没有实根，乙也没有实根 C甲、乙至少一个有实根D 甲、乙是否总有一个有实根不能确定 12. 设 2222 1231007 1352013 a ， 2222 1231007 3572015 b ，以下四个选项中最接 近ab的整数为（） A252B503C1007D2013 三、解答题 13. 直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC（BD位于AC的两侧） ，M、 N分别是AC、BD的中点，且M、N不重合 （1） 线段MN与BD是否垂直？证明你的结论； （2）若30BAC，45CAD，4AC ， 求MN的长 14. 是否存在m个不全相等的正数 123 , m a a aa7m ，使得它们不能全部被摆放在 一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值， 若不存在，说明理由 M N A D C B 27 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案年复旦附中自主招生数学试题及答案 一、填空题一、填空题 1.已知998a ，997b ，996c ，则 2 aabacbc 2.已知：23 a ，32 b ，则 11 11ab 3.在ABC 中，10AB ，16AC ，BAC的角平分线为 AN，BN 和 AN 垂直，垂 足为 N，M 为 BC 的中点，则MN 4.方程 2 35 42 35 xx xx 的根为 5.已知一次函数ykxb经过点1,1，且2k ，则该函数不经过第象限 6.已知, , , , ,a b c d e f为实数，满足0ace ，已知axbcxdexf对于任意 x 都成立，则adbc 7.已知： 2222 1231001 1352001 A， 2222 1231001 3572003 B ，则与AB最接 近的整数是 二、解答题二、解答题 8.已知, x y是正整数，且2014xy， 1111 2014xyxy ，试求xy的最大值 28 9.在ABC 中，BF 和 CE 分别是ABC和ACB的平分线，O 是内心（角平分线的 交点） ，满足OEOF，求证：ABC 是等腰三角形或60A 10. 从 1、2、3、4、2014 这 2014 个数中，抽取 n 个数，放入集合 A 中，从 A 中 任意取 3 个数后，总有一个数能够整除另一个，试求 n 的最大值 29 2014 年华师二附自主招生数学试题年华师二附自主招生数学试题 一、填空题 1.已知 1 4aa，则 44 aa_. 2.在ABC外接圆，已知3R ，边长之比为3:4:5， ABC S_. 3. 222 114 b abab ，则 20132014 ba ab _. 4.四个互不相等的整数ABCD满足下式的关系，则D的可能有_个取值. ABBCB BCADA DBDDD 5.有一个鱼缸它的底为10040cmcm，高50cm，现在鱼缸内装水40cm，将一个底为 4020cmcm，高为10cm的砖块扔到鱼缸中。缸内水面上升了_cm. 6.有一个正方形ABCD，边长为 1，其中有两个全等矩形BECF，GHIJ，BE _. 7.一个正方体的表面积是 2 24cm，里边有个内切圆，这个内切圆中还内接一个小正方体， 小正方体表面积为_. 8.已知，1393abc，求 222 abcabacbc_. 9.甲手上有15号牌，乙手上有611号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的 乘积为 3 的倍数，则这样的概率为_. 10. 直角坐标系xOy内有一个OEF，4,2E ，2, 2F ，原点O为位似中心，相似比 为 2，点E的对应点为 1 E，求 1 E的坐标_. 11. 一辆计程车的速度为55/km h，出发时，它的里程表上的里程为abc，行程结束时里程 表上的速度为cba，其中1a ，7abc， 222 abc_. 12. 有一个多项式，除以 2 23x ，商式是74x，余式是52x，多项式为_. 13. 有 11 个整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数为_. C B I J G A H D F E 30 14. 有一个矩形ABCD，2DCBC，,E F在AB边上，,DE DF将ADC三等分， DEF ABCD S S _. 二、选择题 15. 若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与ACD全等的有（） A.BCEB.ADFC.ADED.CDE 16. 抛物线 2 0yaxbxc a， 抛物线上两点 1 5,Ay， 2 3,By， 抛物线顶点在 00 ,xy， 当 120 yyy，求 0 x的取值范围. 17. 12 ,l l交于点O，平面内有任意点M，M到 12 ,l l的距离分别为, a b，有序实数对, a b为 距离坐标，若有序实数对为2,3，这样的数有几个？ 18. 有一种长方形纸片，其长为a，其宽为bab，现将这种纸片按下右图的方式拼成矩 形ABCD， 其中两块阴影部分没有被纸片覆盖， 这两个阴影部分的面积之差为S， 当BC 的长改变时，S不变，a和b满足（） 三、解答题 19. 解关于x的方程 1 23 2 xa. C DA B a b F A B C D E 31 20. 某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图： 单位（元）甲乙 进价40002500 售价43003000 进货用了资金 15.5 万元，获得毛利 2.1 万元. 1问该商场购进两种手机各多少台？ 2若现在进货资金不超过 16 万，且在 1的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种 手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？ 21. 如图所示，C在圆O上，/ /ODBC,AD是切线，延长,DC AB交于点E. 1求证：DE是切线； 2 2 3 CE DE ，求cosABC的值. A B C D O F 32 22. 1设n是给定的正整数，化简： 22 11 11 1 n n ； 2根据 1的结果，计算 222222 111111 111 1223910 的值. 23.已知抛物线过点3,0A ， 0,3B ， 1,0C 1求抛物线解析式； 2P是直线AB上方抛物线上一点，不与,A B重合，PDAB，PFx轴 当 PDE C最大时，求P的坐标； 如图所示，以AP为边作正方形APMN，M或N恰好在对称轴上，求P的坐标. 33 2014 年华中一附自主招生数学试题年华中一附自主招生数学试题 一、选择题 23. 已知1,2,3 abbcac abbcac ，则c的值等于（） A12B 12 5 C 5 12 D12 24. 如图，平行四边形ABCD中，24AB ，点,E F三等分对角线AC，DE的延长线交AB 于M，MF的延长线交DC于N，则DN等于（） A14B16C17D18 25. 已知 abcabcabc k cba ，且 2 596mnn，则关于自变量x一次 函数ykxmn的图象一定经过第（）象限 A一，二B三，四C二，三D一，四 26. 某家电公司销售某种型号的彩电， 一月份销售每部彩电的利润是售价的 25，二月份每 部彩电的售价调低 10而进价不变，销售件数比一月份增加 80，假设每个月所进彩 电当月全部售完，那么该公司二月份销售彩电的利润总额比一月份利润总额增长（ ） A2B8C405D62 27. 如右图，已知等边ABC外有一点P，P落在BAC内，设点P到BCCAAB、三边的 距离分别为 123 hhh、 、，且满足 231 18hhh，那么等边ABC的面积为() A102 3B90 3C108 3D104 3 28. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，并设 22Mabcabcabab ，则（） A0MB0MC0MD不能确定M为正为负或为 0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 7 分，共 42 分） AB D EF M N A B C P 1 h 2 h 3 h x y 11O 34 29. 若1ab 且有 2 72014170aa及 2 17201470bb，则 a b _ 30. 已知不论k取什么实数， 关于x的方程 2 1 36 kxaxbk （ , a b是常数） 的根总是1x ， 则a b 31. 如图所示，圆 1 O与圆 2 O外切于点A，两圆的一条外公切线与圆 1 O相切于点B，若AB 与两圆的两条外公切线平行，则圆 1 O与圆 2 O的半径之比为_ 32. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O，正三角形OEF绕点O旋转一周，在旋转过程 中，当AEBF时， 1 5 AOE的大小是_ 33. 小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度 为 1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120的线段，长度为其一半；第 三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段，重复前面的作法到第 10 层， 则树形图第 10 层的最高点到水平线的距离为 34. 如图，以Rt ABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心 为O，连接AO，如果4AB ，6AO ，那么AC的长等于_ 三、解答题(本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、正面过程和演算步骤） B A 1 O2 O 水平线 第一层第二层 第三层第四层 B A C O E F 35 35. 在平面直角坐标系中，有以1,1A 、1, 1B、1,1C、1,1D 为顶点的正方形，设 它在折线yxaa上方部分的面积为S 1当 1 2 a 时，求S的值； 2当11a 时，求S关于a的函数解析式 36. 在直角坐标系中，一次函数0ykxb k的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别 交于AB、两点，且使得的面积值等于3OAOB 1用b表示k及OAB的面积S； 2当b变化时，求S的最小值 37. 如图， 在ABCD中， 12341n PPPPP、 、 、 、 、是BD的n等分点， 连接 2 AP并延长交CD于 点F 1求证：/ /EFBD 2设ABCD的面积是S，若 3 8 AEF SS ，求n的值 A DC O B x y A B E C 2 P 1 P 2n P F D 1n P 36 38. 如图，抛物线 2 0yaxbx a与双曲线 k y x 有公共点AB、已知点A的坐标为 14，点B在第三象限内，且AOB的面积为 3（O为坐标原点） 1求实数a，b，k的值； 2过抛物线上点A作直线/ /ACx轴交抛物线于另一点C，求所有满足EOC与AOB相 似的点E的坐标 39. 如图，已知1,0A ， 2 0, 2 E ，以点A为圆心，以AO为x的长为半径的圆交x轴 于另一点B，过点B作/ /BFAE交圆A于点F，直线FE交轴于点C 1求证：直线FC是圆A的切线； 2求点C的坐标及直线FC的解析式； 3有一个半径与圆A的半径相等， 且圆心在x轴上的运动的点P与直线FC相较于,M N两 点，是否存在这样的点，P使PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 C y x A OB F E B x y A C O 37 2015 年复旦附中自主招生数学试题年复旦附中自主招生数学试题 一、填空题 1.实 数x、y、z满 足 222 226214xyxyxzxz， 则 xyz_ 2.若 1001 3 的分子、分母同时加上正整数n时，该分数成为整数这样的正整数n共有 _个 3.已知 2 7aa， 2 73bb，且ab，则 22 ba ab =_ 4.设 p 是奇数，则方程2xyp xy满足xy的正整数解是_ 5.方程 1 2 1