全国高中数学联赛模拟试题（通用）

全国高中数学竞赛模拟考试一、选择题(每题6分，共36分)1.偶数有0，1，2，3，4，5个数字，可以由6个数字组成，不重复，100个数字不是5。公元前360年，公元前252年，公元720年，公元240年2.已知序列 n1 满足=-，且=1。如果序列的前2020项的总和是2020，则前2020项的总和等于 a.2022b.2022c.2020d.20203.有一个四棱锥，底面是等腰梯形，腰部长度和较短的底部长度都是1，有一个底角，侧边和底面形成的角度都是1，那么金字塔的体积就是公元前1世纪4.如果(nN)，余数除以3等于 a.0b.1c.2d，则不能确定5.已知，那么最小值是甲、乙、丙、丁、6.有12条边的正三角形有n个点。半径为1的圆形硬币总能覆盖其中的2个，那么n的最小值就是a17 b . 16 c . 11d . 10二、填空(每题9分，54分)7.在锐角三角形中，设tanA、tanB、tanC为等差数列，函数f(x)满足f(CoS2)=cos(B、C-A)，则f(x)的解析公式为8.最后三位数字是_ _ _ _ _ _ _ _ _9.集合A中的所有元素都是具有属性的正整数：如果是，则为12，总共有这样的收藏品。10.抛物线的顶点在原点，焦点在X轴的正半轴上，直线x y-1=0在点A和点B与抛物线相交，并且|AB|=。抛物线上有一个点C，使ABC成为一个正三角形，如果有，点C的坐标是。11.在系列中，=2，被设置为系列的前N项之和，然后的值是12.建立一个函数，函数在顶部单调递减；则数值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。三、回答问题(每题20分，共60分)13.点A和曲线上的点是已知的。如果，是公差为d 0的算术级数，(1)。试着把D表示成n的函数关系(2)。如果是，如果是，找出所有的N值。如果没有，请解释原因。14.设a，b，c(1，)，证明：2()。15.定义以下操作规则：规则一：两个相邻的数字A和B被颠倒成B和A，这叫做“变换”。(例如，如果将第1、2、3和4行的数量更改为第3、1、2和4行，可以这样做：)规则二：相邻的三个数字A、B和C被颠倒成C、B和A，这叫做“变换”。规则三：把相邻的四个数字A、B、C、D反过来变成D、C、B、A，这叫做“变换”。目前，1，2，3，2020、2020按顺序排列。目标是将此行号更改为2020，1，2，2020，2020经过几次“转型”。问：(1)只有运用规则A才能达到目标吗？(2)如果只使用规则B，目标能否实现？(3)只有使用规则C才能实现目标吗？参考答案1.解决方案：有2个(-)数字，0在末尾，2或4在末尾。根据加法原理，有-2(-)=252。2.解决方案：=-=(-)-=-，因此，对于n1，=0，因此，序列中任意六个连续项目的总和为0。2020=3346 1，2020=3346 2，所以前2020项的总和是=2020。所以2020年前几个术语的总和等于2020年。所以选择(c)。3.解决方案：这个体积是底部边缘和高度为1的正六边形金字塔体积的一半。因此4.解决方案：=-21(mod3)。所以选择(b)。5.解决方案：已知的，因此=当且仅当，立即，取等号因此，当时有一个最小值，所以选择了C。6.解决方案：如图(1)所示，进行划分，并在每个交叉点放置一个点。此时，任意两点之间的距离不小于4，42(硬币直径)。因此，硬币此时不能覆盖两点，表明n=10是不够的。如图2所示，进行另一次分割以获得16个具有3条边的等边三角形，其中10个三角形是“向上”的，它们的外接圆的半径是精确的。借助于图3，可以证明，只要图2中的10个“向上”三角形被硬币覆盖，三角形ABC就被完全覆盖。如果三角形中有11个点，那么一枚硬币必须至少覆盖其中的两个点。因此，n的最小值是11，所以选择(c)。6.解决方案：=那是。7.解决方案：tana=-tan (b c)，tanantanc=tanatanbtanc，tanantanc=2tanb，所以有3个正切=正切，因为b是一个锐角，所以正切0，所以正切=3，如果cos2C=x，则=，so=所以cos(BC-a)=cos(-2a)=-cos 2a=1-2=1-=，即f(x)=。8.解决方案：(10 i1)(10 i3)(10 i7)(10 i9)=100 100 i9100 100 i21=10000 3000i(i 1) 189189(mod1000)。So=189100900(mod1000)。所以最后三个是9009.解决方案：根据集合A的性质，A必须是六个集合1，11、2，10、3，9、4，8、5，7、6，几个中的联合，所以总共有=-1=63个符合要求。10.解：让抛物线方程由弦长|AB|=约p建立。解是p=或p=-(省略)，所以抛物线方程是。设AB的中点为D(x0，y0)，抛物线上有一个点C(x3，y3)满足条件。因为ABC是一个正三角形，CDAB，|CD|=|AB|=。来自CDAB，(1)来自(2)(1)和(2)的答案是，不在抛物线上。所以有一点(，)11.解：当n是偶数时，因此当n是奇数时，因此12.解决方案：(1)设置、然后显而易见的是。、，只需要使上面的是一个单调递减函数；13.(1)d0，所以它是一个递增序列最小值和最大值从等式中知道是它的正确焦点，L:是它的右准线。所以(2)假设最大值是14，最小值是8。可以采取8，9，10，11，12，13和14。14.证明：A，B，C (1，)，logba，logcb，logac都是正数，它们的乘积等于1。 3=，同样 2 (ab c)=(a b) (b c) (c a) 3，=， 、也就是说，2()。15.答：(1)是，执行以下操作：(4分)(2)不，从左到右对数字所占据的位置进行编号。根据规则B，如果数字在数字位置，则它可能是经过一次变换后的数字位置，因此数字所占据的位置的奇偶性在操作期间不会改变。然而，1比1，2，3，2020，2020在2020年目标中排名第1，1，2，2020，2020是第二，这是不可能的。(8分)(3)可以通过以下操作(如 *操作):一个数字可以移动到前提的四个位置，而其他数字的顺序保持不变。(12分)2001年、2002年、2020年、2020年、2020年和2020年采用的“*操作”可以改为2020年、2001年、2002年、2020年和2020年，然后1997年、1998年、1999年、2000年和2