北京市延庆区2020届高三数学一模考试试题 理（含解析）

延庆区2020学年度一模考试 高三数学（理科） 2020年3月本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题选择B选项. 2. 等差数列中，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 本题选择A选项.3. 已知是互相垂直的两个单位向量，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 本题选择B选项.4. 右图是一个算法的程序框图，如果输入，那么输出的结果为A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时, ，满足循环条件，此时i=2；当i=2时, ，满足循环条件，此时i=3；当i=3时, ，满足循环条件，此时i=4；当i=4时, ，不满足循环条件，此时 本题选择C选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证5. 某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的A. 倍以上，但不超过倍 B. 倍以上，但不超过倍C. 倍以上，但不超过倍 D. 倍以上，但不超过倍【答案】D【解析】设第一个月的点击量为1.则4个月后点击量 .该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。本题选择D选项.6. 角的终边经过的一点的坐标是，则“”的充要条件是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,“|a|=1”的充要条件是 .本题选择B选项.7. 设，则间的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，cba.本题选择A选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小8. 某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。无论如何安排，都有至少名员工参加的培训完全相同。问该公司至少有多少名员工？A. 17 B. 21 C. 25 D. 29【答案】C【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。没有相同的安排共有 种，当每种安排各有4人，则没有5名员工参加的培训完全相同。此时有员工46=24人，当增加1人，必有5名员工参加的培训完全相同。该公司至少有25名员工。本题选择C选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法第卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标是_.【答案】【解析】 所以复数在复平面上所对应的点的坐标是 .10. 在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点间的距离是_千米.【答案】【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x,CAB=75，CBA=60，ACB=180-75-60=45， ，在RtABD中， （千米），所以两点间的距离是 千米.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11. 极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标是_.【答案】【解析】在直角坐标系中，A(0,2)，直线l:x=1，A关于直线l的对称点B(2,2).由于 ，OB直线的倾斜角等于 ，且点B在第一象限，故B的极坐标为 .12. 将幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出，每排至少幅，其中两幅作品必须排在前排，那么不同的排法共有_种.【答案】48【解析】根据题意，分2种情况讨论：前排2幅,后排3幅,则前排的必须是A,B,考虑其顺序,有 种情况，剩下的三幅放在后排,有 种情况，则此时有26=12种不同的排法，前排3幅，后排2幅，需要先在剩下3幅中,选出1幅,与A. B一起放在前排,有 种情况，剩下的2幅放在后排,考虑其顺序,有种情况，则此时有182=36种不同的排法，则不同的排法共有12+36=48种；故答案为：48.13. 过双曲线的右焦点的直线与只有一个公共点，则的焦距为_，的离心率为_.【答案】 (1). 8 (2). 2【解析】过双曲线C: 的渐近线方程为 ，因为过双曲线C: 的右焦点F的直线 与C只有一个公共点，所以 ，又因为 ，解得 ，所以 ，则的焦距为8，的离心率为2.14. 棱长均为的正四面体在平面的一侧，是在平面内的正投影，设的面积为，则的最大值为_，最小值为_.【答案】 (1). (2). 故的最大值为2，最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（）求的最大值及相应的值；（）设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，求的值.【答案】(1)1, ;(2) .【解析】试题分析：()整理函数的解析式，据此可得时，.()利用题意可得，在直角三角形中可得.试题解析：（） ， 此时 . （） 过作轴于， , . 点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚16. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：0500元5001000元10001500元15002000元A类20502010B类50301010月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.（）从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；（）从两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；（）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B.【解析】试题分析：()利用题意结合古典概型公式可得从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7；()利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78()利用题中数据的波动程度可得两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是B.试题解析：（）设此人属于中低消费人群为事件， 则 （）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件， 则 （）答： 17. 如图，四棱锥的底面是直角梯形,侧面底面,是等边三角形，点分别是棱的中点 .（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上存在一点，使平面，且，求的值.【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .【解析】试题分析：()由题意证得，结合线面平行的判断定理可得平面. ()建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的大小为30；()利用(II)中的空间直角坐标系结合空间向量的坐标表示得到关于实数 的方程，解方程可得.试题解析：（）证明：设是的中点，连接 分别是的中点 ， 四点共面 ，平面，平面 （） 平面 底面， 平面，过点作轴与平面垂直，则轴平面以分别为轴，轴建立空间直角坐标系 设平面的法向量为，则 设平面的法向量为， ，所求二面角大小为. （），设， ， 平面， ， . 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.18. 已知函数()当时，求曲线在处的切线方程；()当时，求证：函数在处取得最值【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：()利用导数求得斜率为1，结合切线所过的点，由点斜式方程可得切线方程为;.试题解析：()因为 ， ，所以 因为所以切点为， 则切线方程为 ()证明:定义域函数所以 当时，,均为减函数 所以在上单调递减； 又因为当时， 在上单调递增； 又因为当 在上单调递减； 因为所以 在处取得最大值 解法二: 当时， , 又因为 ，在上单调递增； 当 ， 又因为 ,在上单调递减； 又因为所以在处取得最大值 解法三:也可以二次求导,老师斟酌给分19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率.且经过点，与轴交于两点，以为直径的圆记为，是上的异于的点.（）求椭圆的方程；（）若与椭圆交于点，且满足，求点的坐标.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：()由题意求得 ，据此可得椭圆的方程为；()联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和中点坐标公式可得点的坐标为.试题解析：（）由已知得，解得所以椭圆的方程为 （）法一： 点在曲线上， 又，且为的中点为的中位线，且否则，与矛盾 设点的坐标为 点在曲线上， ， 由得：，代入整理得：解得：或（舍）， ，设点的坐标为则 点的坐标为. 法二： 点在曲线上， 又，且为的中点为的中位线，且否则，与矛盾 由（）知，设直线 ，得， ，设，由韦达定理可知， 由，得， 即， 设，点是的中点，得，故20. 设是由个实数组成的有序数组，满足下列条件：，；，.（）当时，写出满足题设条件的全部； （）设，其中，求的取值集合；（）给定正整数，求的个数.【答案】(1) 详见解析;(2) ; (3) 【解析】试题分析：()利用题中所定义的 可得 共有5个可能的值；()利用题意逐一交换元素的位置，讨论可得：的取值集合为()利用(II)中的方法结合排列组合相关结论可得给定正整数，求的个数是试题解析：（）解：，共个 （）解：首先证明，且在中，令，得由得由得在中，令，得，从而由得考虑，即，此时为最大值现交换与，使得，此时现将逐项前移，直至在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次移位继续交换与，使得，此时现将逐项前移，直至在前移过程中，显然不变，执行第2次移位依此类推，每次移位的值依次递减经过有