湖南省师范大学附属中学2020届高三数学下学期模拟试题（二）理（含解析）

湖南师大附中2020届高考模拟卷(二)数学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A20，17，Bx|xab，aA，bA，则集合B中元素个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】A20，17，Bx|xab，aA，bA故选C.2. 设i是虚数单位，复数z，则|z|( )A. 1 B. C. D. 2【答案】B【解析】.故选B.3. 右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是( )A. x甲76，x乙75B. 甲数据中x3，乙数据中y6C. 甲数据中x6，乙数据中y3D. 乙同学成绩较为稳定【答案】C【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x6，因为乙得分的平均数是75分，所以，解得y3，故选C.4. 已知双曲线1的一条渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，所以：.离心率为.故选C.5. 一算法的程序框图如图所示，若输出的y，则输入的x可能为( )A. 1 B. 1 C. 1或5 D. 1或1【答案】B【解析】若，符合题意；若，不满足故错误.所以选.6. 平面外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面的距离为( )A. B. 10 C. 8 D. 【答案】A【解析】如图过点A作平面则、之间的距离为7，B到的距离为972，C到的距离为1376，利用梯形中位线易求得BC中点D到的距离为，而重心G在AD上，且，重心G到的距离为d4，故重心G到的距离为d47.故选A.7. 设数列an，bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且，则logb5a5( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D.8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 15 B. 20 C. 25 D. 30【答案】B【解析】V345520.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A. 7 B. 7 C. 28 D. 28【答案】B【解析】试题分析：由题意，令，故常数项为故选B考点：二项式定理的应用【名师点睛】1二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项2求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可10. 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若PF1F2为直角三角形且|PF1|0，tan3恒成立，t(an3)mina133，tmax3.故选C.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把各题答案的最简形式写在题中的横线上13. 设x，yR，向量a(x，2)，b(1，y)，c(2，6)，且ab，bc，则_【答案】【解析】向量a(x，2)，b(1，y)，且ab，bc所以，解得.则14. 设变量x、y满足约束条件：则zx2y2的最大值是_【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图ABC)，而zx2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA2，故答案为：8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 圆x2y21上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且APB60，则|PA|2|PB|2的取值范围为_【答案】(5，6【解析】过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|2.令APQ，则BPQ.由题意可知：0.那么，|PA|PQ|cos 2cos ，|PB|PQ|cos2cos.|PA|2|PB|2(2cos )2444cos22cos22sin cos 3sin 2cos 242+42sin4.0，02，2，sin1.52sin46.因此，|PA|2|PB|2的取值范围为(5，616. 已知函数f(x)x|x212|的定义域为0，m，值域为0，am2，则实数a的取值范围是_【答案】a1.令x312x16，解得，x4.作出函数的图象(如右图所示)函数f(x)的定义域为0，m，值域为0，am2，分为以下情况考虑：当0m2时，函数的值域为0，m(12m2)，有m(12m2)am2，所以am，因为0m4；当2m4时，函数的值域为0, 16，有am216，所以a，因为2m4，所以1a4；当m4时，函数的值域为0，m(m212)，有m(m212)am2，所以am，因为m4，所以a1.综上所述，实数a的取值范围是a1.三、解答题：本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数f(x)sin xcos xsin2x1(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.()求的值及函数f(x)的单调递减区间；()如图，在锐角三角形ABC中有f(B)1，若在线段BC上存在一点D使得AD2，且AC，CD1，求三角形ABC的面积【答案】() ；() .【解析】试题分析：()利用倍角公式降幂，结合辅助角公式化一可得正弦型函数，进而结合正弦函数性质即可求解；()讲f(B)1代入解析式得B，在ADC中由余弦定理可得cos C，解出三角形即可求面积.试题解析：()f(x)sin 2x1sin.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以T，即，所以1.故f(x)sin.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以f(x)的单调递减区间为 (kZ)()由f(B)sin1，即sin.由0B得2Bb0)的焦点F与抛物线E：y24x的焦点重合，直线xy0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切()直线x1与椭圆交于不同的两点M，N，椭圆C的左焦点F1，求F1MN的内切圆的面积；()直线l与抛物线E交于不同两点A，B，直线l与抛物线E交于不同两点C，D，直线l与直线l交于点M，过焦点F分别作l与l的平行线交抛物线E于P，Q，G，H四点证明：.【答案】() ；()见解析.【解析】试题分析：()利用条件得椭圆方程，将x1代入椭圆得M，N坐标，求出F1MN的周长和面积，进而得内切圆半径；()设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式表示弦长，进而化简运算即可证明.试题解析：() 依题意，得c1，e，即，a2，b，所求椭圆C的方程为1.直线l的方程为x1，得M，N，设F1MN的内切圆的半径为R，则F1MN的周长4a8，SF1MN (|MN|F1M|F1N|)R4R.又因为SF1MN34R，R，所求内切圆的面积为.()设直线l和l的方程分别为xk1ym1，xk2ym2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由方程组得y24k1y4m10方程的判别式0，得4k124m10.由得y1y24k1，y1y24m1，由方程组得y24k2y4m20方程的判别式0，得4k224m20.由得y3y44k2，y3y44m2.联立直线l与直线l的方程可得：M点坐标为.因为|MA|MB|(1k12)，代入计算得，|MA|MB|(m2m1)24k1k2(m1m2)4(m1k22m2k12)|.同理可得|MC|MD|(1k22).因此.由于PQ，HG分别与直线l和直线l平行，故可设其方程分别为xk1y1，xk2y1.由方程组得y24k1y40.由得yPyQ4k1，yPyQ4，因此|PQ|xPxQpk1(yPyQ)44(1k12)同理可得|HG|xHxGpk1(yHyG)44(1k22)故.所以.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数(x)，a为正常数()若f(x)ln x(x)，且a4，讨论函数f(x)的单调性；()若g(x)|ln x|(x)，且对任意x1，x2(0，2，x1x2都有0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，即可得到答案（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2上是减函数()下面对x分类讨论：当1x2时，当0x1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围() h(x)在(0，2上是减函数，所以h(x)h(2)，即g(x)xln 22，由a的范围放缩得：g(x)ln 22x，进而构造函数T(x)ln 22x，利用单调性即可证得.试题解析：()当a4时，f(x)ln x，定义域为(0，)，又f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增()因为1，所以10， 0.所以m(x)在1，2上是增函数，则当x2时，m(x)有最大值为，所以a.