2020-2021学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式学案 新人教A版必修4

第一类中两个角的和与差的正弦和余弦公式学习目标核心养心1.利用两个角之差的余弦公式，掌握两个角之和的余弦公式和两个角之和的正弦公式。2.简单的三角函数将通过使用两个角的和与差的正弦和余弦公式来评估、简化和证明。3.熟练掌握两个角的和与差的正弦和余弦公式的灵活应用，了解公式的应用、逆应用和变分等常用方法。(困难，容易混淆的点)1.利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式和两角和的正弦公式，培养学生的逻辑推理能力。2.简化和评估两个角的和与差的正弦和余弦公式，以提高学生的数学运算和数据分析能力。1.两个角的和与差的余弦公式名字简单符号公式使用条件两角差余弦公式c(-)cos(-)=cos cos +sin sin ，r两个角之和的余弦公式c(+)cos(+)=cos cos -sin sin ，r2.两个角的和与差的正弦公式名字简单符号公式使用条件两个角之和的正弦公式s(+)sin(+)=sin cos +cos sin ，r两个角度差的正弦公式s(-)sin(-)=sin cos -cos sin ，r思考：sin ( )=sin sin成立吗？你能举个例子吗？提示不一定是真的，比如罪恶罪恶罪恶。3.两角余弦公式的推导从 =-(-)，cos(+)=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos-sin sin 。1 . sin 20 cos 10-cos 160 in 10=()a.-波士顿-华盛顿d原始公式=sin 20 cos 10 cos 20 sin 10=sin(20 10)=sin 30=。2.cos57cos3-sin57sin3的值为()a.0 bc.d.cos 54b原始公式=cos(57 3)=cos 60=。3.如果cos =-，是第三象限的角度，sin=。-cos=-，是第三象限的角度，sin =-=-，sin=sin -cos =-=-。4.cos 15+sin 15=。原始公式=sin30cos15 cos30sin15=sin45=。角度的评估(1)cos 70 sin 50-cos 200 sin 40的值为()a.-英国-华盛顿特区(2)如果是第二象限角度，sin =，cos ( 60)=。(3)评价：(tan 10 -)。(1)d(2)-(1)* cos 200=cos(180+20)=-cos 20=-sin 70，sin 40=cos 50，原始公式=cos70sin 50-(-sin70) cos50=sin(50+70)=sin 120=。(2)是第二象限角度，sin =，cos =-=-，cos(+60)=cos-正弦=-=-。(3)溶液原始公式=(tan10-tan60)=-2。解决角度评价问题的策略(1)对于非特殊角度三角函数的评定，必须坚持“先整体后局部”的基本原则。如果整体符合三角公式的形式，整体就会变形，否则，所有的部分都会变形。(2)一般方法是将非特殊角质化转化为特殊角度的和或差的形式，转化为正负破坏性项的形式，并对破坏性项进行评估，减少分子和分母的形式。解决问题时，公式应该反向使用或改变。提醒：在逆向使用两个角度的和与差的正余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式的特点，其次要注意角度是否符合要求。1.简化和评估：(1)；(2)sin(+75)+cos(+45)-cos(+15)。解 (1)原始公式=sin 30=。(2)让= 15，那么原始公式=sin ( 60) cos ( 30)-cos =+-cos =0。价值评估例2 (1)假设sin =，cos =-，是第一象限角，是第二象限角，求sin ( )和sin (-)的值；(2)评估：sin cos(3)假设 ，cos(-)=sin()=-，计算cos 2和cos 2的值。想法和建议：(1)直接方法：(2)使用常值替换：转换反公式。(3)使用角度替代解(1)是第一象限角度，sin =，cos =。是第二象限角度，cos =-，sin =，sin(+)=sin cos +cos sin =+=。sin(-)=sin cos -cos sin =-=-。(2)sin +cos=2=2=2sin=2sin=。(3)，0-,+.还有 cos (-)=，sin ( )=，sin(-)=，cos(+)=-=-=-。cos 2=cos (+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=-=-，cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-+=-。价值评估方法(1)直接法：当有两个“已知角度”时，“期望角度”一般表示为两个“已知角度”的和或差。(2)常数代换：用一些三角函数代替一些常数，这样代换后就可以使用相关的公式。我们称这种代换为常数代换，尤其是“1”的代换，如1=sin2 cos 2，1=tan 45，1=sin90等。1等。可视为特定角度的三角函数值，因此常数用作三角函数。(3)角度替换：未知角度由已知角度表示，因此公式可以直接应用。像这样的替换方法是角度替换。常见的有：=( )-，=-(-)，2.如果sin=，cos=，并且0 ，则找出sin的值( )。溶液0 ，+,-0，sin=，cos=，cos=-,sin=-.sin(+)=-cos=-因为=-=-=。给出价值，寻找角度例3 cos =，sin()=0 ，0 ，角度的值是已知的。想法和建议：解因为0 ，cos =，sin =。因为0 ，所以0 。因为sin ( )=sin，所以 ，所以cos ( )=，所以sin=sin ( )-sin(+)cos -cos(+)sin =-=。因为0 ，=0。求解给定值角的两个关键点(1)找到获得的角度的某个三角函数值；(2)确定角度范围。一旦这两个环节完成，可以通过结合三角函数的性质和图像来获得解决方案。提醒：要确定所需角度的哪个三角函数值，应根据特定主题和给定角度的范围来确定。3.cos =，sin (-)=和， 是已知的。求出：(1)cos(2-)的值；(2)值。解 (1)因为， ，所以- 和sin (-)= 0，所以0 -，所以sin=，cos(-)=，cos(2-)=cos+(-)=cos cos(-)-sin sin(-)=-=。(2)cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=+=，因为 ,所以=。辅助角度公式的应用探索问题1.你能把函数y=sinx cosx (x r)转换成y=asin (x )的形式吗？提示：是的。y=sinx cosx=sin。2.如何推导asinx bcosx=sin (x )公式？提示：asinx bcosx=，如果cos =，sin =，则asin x+bcos x=(sin xcos +cos xsin )=sin (x )(其中角所在的象限由a和b的符号决定，角的值由tan =决定或由sin =和cos =决定)。(1) sin-cos=。(2)给定a=(，-1)，b=(sinx，cos x)，xr，f(x)=ab，求函数f(x)的周期、范围、单调递增区间。思路：解决这类问题的关键是巧妙地构造公式c (-)、c(-)、s (-)、s(-)的右边，并反演出一个角的三角函数值。(1)-原始公式=2。方法1:(正弦)原始公式=2=2=2sin=2sin=-。方法2:(余弦变换)原始公式=2=-2=-2co=-2co=-。(2)解 f (x)=sinx-cosx=2=2=2分钟， t=2，范围-2，2。从- 2k x- 2k，得到递增区间kz。1.如果本例(2)中的a=(，-1)改为a=(-1)，其他条件保持不变，如何求解？解 f (x)=-sinx cosx=2=2co， t=2，范围为-2，2，从- 2k x 2k，得到一个递增区间，kz2.如果本例(2)中的a=(，-1)变为a=(m，m ),其中m 0，其他条件保持不变，我们应该如何求解？解 f (x)=msinx mcosx=msin。 t=2，范围为-m，m，从- 2k x 2k，得到一个递增区间，kz辅助角公式及其应用(1)公式形式：公式asin bcos =sin ( )(或asin bcos =cos (-)将三角函数形式asin bcos (a，b不同时为零)收缩成相同角度的三角函数形式。(2)形式选择：转换成正弦还是余弦取决于具体条件。一般来说，变形后的角系数要求为正，这更有利于研究函数的性质。提醒：当使用辅助角度公式时，辅助角度经常是错误的。1.公式推导和记忆(1)理顺公式之间的逻辑关系c(-)c(+)s(+)s(-)。(2)注意公式的结构特征和符号规则对于公式c (-)，c(-)可以写成“同名乘法，符号倒置”；对于公式s (-)，s ( )可以记录为“同义词乘法，符号相同”。(3)符号变化是公式应用中容易出错的地方，特别是公式c (-)，c(-)，s (-)，以及公式sin (-)=sin c(-cos s(-)。还应特别注意角度、的“状态”。2.应用公式应注意的三点(1)应注意公式的使用和反演，尤其是公式的反演。要求正确找出给定公式与公式右侧的异同，积极为公式的反演创造条件。(2)注意角度拆分和角度匹配的技巧，用已知的角度表示未知的角度，以便直接使用公式。(3)注意常量值替换：用一些三角函数值替换一些常量，以便替换后可以使用相关公式，尤其是“1”的替换，如1=sin2 cos2，1=sin90，=cos60，=sin60等。然后，例如：0、等。可视为特殊角度的三角函数值，从而用三角函数代替常数。1.以下陈述不正确()a.角度、的存在使得cos()=cos(+)=coscos+sinsinb sin ( )=sin cos cos sin 以任意角度，存在c.有角度，使sin(-)cos-cossind.角度，的存在使得sin ( )=sin cos -cos sin 一对，当=2k，cos =1，sin =0时，方程成立；是的，这是一个恒等式，适用于任何，。c误差，sin (-