2020-2021学年高中数学 第2章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学案 新人教A版必修4

2.5.1平面几何中的矢量方法2.5.2矢量在物理中的应用示例学习目标核心养心1.掌握向量法解决一些实际问题，如简单的几何问题和力学问题。2.经验向量是处理几何和物理问题的重要工具。3.培养用向量知识解决实际和物理问题的能力。1.用向量法解决几何问题，提高学生的数学运算和直觉想象能力。2.用向量法解决物理问题，提高学生的数学抽象和数学建模素养。1.用向量法解决平面几何问题的“三部曲”(1)建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过矢量运算，研究了距离和夹角等几何元素之间的关系。(3)将运算结果转化为几何关系。2.向量在物理中的应用(1)矢量力、速度、加速度和位移在物理问题中是常见的。(2)矢量的加减体现在力、速度、加速度和位移的合成和分解中。(3)动量mv是矢量的乘积。(4)功是力f和位移s的乘积。1.给定四边形abcd和平面上的点o，如果=a，=b，=c，=d，并且a c=b d，四边形abcd是()a.菱形b .梯形c .矩形d .平行四边形d知道=，那么-=-，也就是说，四边形abcd是平行四边形。2.如果abc已知，=a，=b，ab 0，则abc的形状为()a.钝角三角形b .直角三角形c.锐角三角形d .不确定性从条件可知bac是一个钝角，所以abc是一个钝角三角形。3.假设物体在大小为6 n的力f的作用下产生的位移s为100 m，f和s之间的角度为60，力f所做的功为300 w=fs=6100cos 60=300(j)。4.如果合力f1，f2，f3=三个力f1=(3，4)，f2=(2，-5)和f3=(x，y)中的0是已知的，f3的坐标是_ _ _ _ _ _。(-5，1)来自f1 f2 f3=0，f3=-(f1 f2)，f1=(3，4)，f2=(2，-5)， f1 f2=(5，-1)，即f3=(-5，1)。向量在平面几何中的应用探索问题1.如何用向量法证明平面几何中的abcd？提示：方法1: 选择一组向量作为基础；(2)用基数表示和；(3)证明值为0；给出了abcd几何结论。方法2:求出坐标，=(x1，y1)，=(x2，y2)，然后计算出数值0，从而得到几何结论abcd.2.如何用向量法证明平面几何中的abcd？提示：方法1: 选择一组向量作为基础；(2)用基数表示和；(3)寻找实数，make=，即；给出了几何结论abcd。方法2:找到坐标，=(x1，y1)，=(x2，y2)。利用矢量共线坐标关系x1y2-x2y1=0得到，然后给出几何结论abcd。上述两种方法都是基于这样一个事实，即a、b、c和d中的任何三个点都不是共线的，只有才能得到abcd。(1)如果非零矢量和满足=0和=，则abc的形状为()a.不等边三角形b .直角三角形c.等腰三角形(2)已知四边形abcd是一个有6条边的正方形，e是ab的中点，f点在bc上，bf: fc=2: 1。af和ec在点p相交，以找到四边形的面积。想法和建议：(1)首先，用平行四边形法则分析的几何意义，从0的乘积推导出垂直关系。然后bac由=计算，最后确定abc的形状。(2)首先建立点p的坐标，然后分别根据a、p、f和c、p、e共线计算点p的坐标，最后计算四边形apcd面积。(1)角=0，a的平分线垂直于bc，所以ab=ac，假设夹角为，and=cos =， 0，所以bac=-=，所以abc是等腰三角形。(2)解如图所示，建立一个以a为坐标原点，ab为x轴，ad为y轴的直角坐标系。a(0,0),b(6,0),c(6,6),d(0,6)，f(6，4)，e(3，0)，设p(x，y)，=(x，y)，=(6，4)，=(x-3，y)，=(3，6)。点a、p、f和点c、p、e分别共线。获得。s四边形apcd=s正方形abcd-s aep-s ceb=36-33-36=。1.将本例(1)的条件改为(-) (-2)=0，并尝试判断abc的形状。解(-)(-2)=0，(-)(-+-)=0，(+)=0，(-)(+)=0， 2-2=0，也就是| | 2-| | 2=0。所以| |=| |，abc是一个等腰三角形。2.将本例(2)中的条件“bf: fc=2: 1”更改为“bf: fc=1: 1 ”,并验证：afde.证明建立如图所示的平面直角坐标系，然后是a(0，0)，b(6，0)，c(6，6)，d(0，6)，然后是中点e(3，0)，f(6，3)，=(6,3),=(3,-6)，=63+3(-6)=0，,afde.向量法解决平面几何问题的两种思路(1)几何方法：选择一个合适的基(基中的向量应尽可能知道模或夹角)，用基表示问题所涉及的向量，并利用向量的算法、计算法则或性质进行计算(2)坐标法：建立一个平面直角坐标系来坐标向量，将几何问题中的长度、垂直和平行问题转化为代数运算。向量在解析几何中的应用例2给定点a(1，0)，直线l: y=2x-6，点r是直线l上的一个点，如果=2，则得到点p的轨迹方程。想法：解集合p(x，y)，r(x0，y0)，然后=(1，0)-(x0，y0)=(1-x0，-y0)，=(x，y)-(1，0)=(x-1，y)。by=2点r在直线上：y=2x-6， y0=2x0-6，x0=3-2x来自，6-2 (3-2x)=2y来自，y=2x，这是点p的轨迹方程。用向量法求解解析几何问题的步骤如下：首先，解析几何问题中的相关量用向量表示；二是将其转化为向量模型，通过向量运算解决问题。第三是将结果归结为解析几何问题。1.已知abc的三个顶点a(0，-4)、b(4，0)、c (-6，2)和点d、e和f分别是边bc、ca和ab的中点。(1)求直线的方程；(2)求ab侧高线ch的直线方程。解 (1)让m(x，y)是直线de上的任何一点，然后，因为点d和e分别是边bc和ca的中点，所以点d和e的坐标分别是d (-1，1)，e (-3，-1)。=(x+1，y-1)，=(-2，-2)，所以(-2)(x1)-(2)(y-1)=0，也就是说，x-y 2=0是直线的方程式。(2)如果n(x，y)是直线上ch所在的任何一点，那么 so=0，再次=(x 6，y-2)，=(4，4)，所以4 (x 6) 4 (y-2)=0，也就是说，x y 4=0是直线ch的方程式。平面向量在物理中的应用探索问题1.向量的量积和功之间有什么关系？指出物理学中力作功的本质是物体方向上分力与物体位移距离的乘积，其本质是矢量个数的乘积。2.用向量法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量法解决物理学中的相关问题一般分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等。回答问题，即把数学结论返回物理问题。(1)物体在力f1=(3，-4)、f2=(2，-5)和f3=(3，1)的共同作用下，从点a(1，1)移动到点b (0，5)。在这个过程中，三种力的合力所做的功等于_ _ _ _ _ _。(2)如图所示，如果| f1 |=1，| f2 |=2，并且f1和f2之间的角度为，则作用在同一点上的三个力f1、f2、f3处于平衡状态。(1)f3尺寸；找出f2和f3之间的角度。想法和建议：(1)(2)(1)-40因为f1=(3，-4)，f2=(2，-5)，f3=(3，1)，所以合力f=f1 f2 f3=(8，-8)，=(-1，4)，然后f=-18-84=-40，也就是说，三种力的合力所做的功是-40。(2)解 按主题| f3 |=| f1 f2 |，因为| f1 |=1，| f2 |=2，并且f1和f2之间的角度为，| f3 |=| f1 f2 |=。(2)将f2和f3之间的角度设为，因为f3=-(f1 f2)，所以f3f2=-f1f2-f2f2，so 2cos =-12-4，所以因为=-，所以=。向量在物理中的应用(1)求力矢量和速度矢量的常用方法：一般来说，矢量是用矢量和的平行四边形法则几何求解的。(2)用矢量方法解决物理问题：(1)物理问题中的相关量用矢量表示；(2)将模型转化为向量问题，通过向量运算解决问题；(3)结果被简化为物理问题。2.一条河流，宽度为千米，流速为2千米/小时。河的两边有两个码头。众所周知，ab=千米。船在水中的最大速度为4公里/小时；询问如何安排航行速度，以便船只能尽快从a码头到达b岸。需要多长时间？解决方案如图所示，将当前速度设置为航行速度，将ac和ad设置为aced.的相邻边当ae和ab重合时，它们可以尽快到达彼岸。根据主题，我们知道acae，在ade和aced，|=|=2，|=4，aed=90，|=2，2=0.5(h)，ead=,ead=30.这艘船的实际航行速度是4公里/小时，当它与水流形成120度角时，它能尽快到达b码头，需要0.5小时。1.矢量法可用于解决平面几何中的平行度、垂直度、夹角和距离问题。当用向量来解决平面几何问题时，有两种思路：一种是选择一组基，用基向量来表示所涉及的向量，另一种是建立一个坐标系来寻找所涉及的向量的坐标。两种思想都是通过向量计算来获得几何命题的证明。2.用向量解决物理问题一般按照以下步骤进行：转化：将物理问题转化为数学问题；(2)建模：建立基于向量的数学模型；(3)求解：寻找数学模型的相关解；回归：回到物理现象，用得到的值解释一些物理现象。1.下列命题是正确的()如果,直线ab平行于直线cd。如果abc是一个直角三角形，那么一定有=0在正三角形中，如果2=0，正三角形是等边三角形d.|=错了，可能是同一条直线；错了，直角不一定是c；c错误，条件()=0，bac是直角，即abc是直角三角形，而不是等边三角形。2.穿过点m(2，3)并垂直于向量u=(2，1)的直线方程是()a.2x+y-7=0，b.2x+y+7=0c.x-2y+4=0 d.x-2y-4=0假设p(x，y)是期望直线上的任何一点，那么u=(x-2，y-3)，所以2 (x-2) (y-3)=0，也就是2x y-7=0。3.给定作用在点a上的三个力f1=(3，4)，f2=(2，-5)，f3=(3，1)和a(1，1)，那么合力f=f1 f2 f3具有端点坐标()a.(9，1) b.(1，9)c.(9，0) d.(0，9)f=f1+f2+f3=(3，4)+(2，-5