第3章-DFT及其FFT(12上)

第三章离散傅里叶变换及其快速算法，离散傅里叶变换和快速傅里叶变换，物理与技术学院。本章的主要内容，离散傅立叶变换的定义，离散傅立叶变换的主要性质，频域采样快速算法，快速傅立叶变换，应用实例，物理与技术学院。问题：序列的傅里叶变换和Z变换是时域离散信号和系统分析与设计的重要数学工具；然而，变换结果都是连续函数，不能由计算机处理。解决方案：离散傅里叶变换(DFT):有限长度时域离散信号的频谱以相等的间隔采样，并且频域函数被离散化以便于信号的计算机处理。然而，离散傅立叶变换计算量大，快速离散傅立叶变换算法是解决方案。3.1离散傅立叶变换的定义和物理意义，物理与技术学院。2020年5月27日，评论，连续周期信号的傅立叶级数，序列的傅立叶变换(DTFT)，连续信号的傅立叶变换，物理与技术学院。联合国，6，2020/5/27，周期序列的离散傅立叶级数，周期序列的傅立叶变换，物理与技术学院。联合国，7，2020/5/27，有限长度序列的离散傅立叶变换：正变换，逆变换，物理与技术学院。n.u .8，2020/5/27，3.1.1 DFT定义，设x(n)为长度为m的有限长度序列，x(n) n点离散傅里叶变换(正变换-DFT)定义为：N称为DFT变换区间长度，N点离散傅里叶逆变换(IDFT)定义为一阶，且该对离散傅里叶变换和逆变换可表示为：联合国，9，2020/5/27，逆变换的证明：因此，逆离散傅立叶变换是唯一的。schoolofphysics and technology n . n . u .10，2020/5/27，例3.1.1分别计算序列的8点离散傅立叶变换和16点离散傅立叶变换，并求解：8点离散傅立叶变换和16点离散傅立叶变换。schoolofphysicsandtechnology n . n . u .11，2020/5/27 .上图显示样本在频率间隔内等距分布。物理与技术学院。n.u .12，2020/5/27，1 .DFT与DTFT ZT的关系，有限长度序列DFT与DTFT ZT的关系，3.1.2DFT与ZT DTFT DFS的关系，还有，物理与技术学院。n.u .13，2020/5/27，DFT和z变换，DFT和DTFT变换，序列x(n)的n点DFTX(k)是在单位圆上的n点以相等间隔采样的x(n)的z变换X(z)；具有X(k) x(n)的离散时间傅立叶变换以相等的间隔在间隔上的n个点被采样。这是密度泛函的物理意义。schoolofphysicsandtechnology n . n . u .14，2020/5/27，例如：解决方案：schoolofphysicsandtechnology n . n . u .15，2020/5/27，是频率间隔内等距的样本。物理与技术学院。联合国，2020年5月16日，DFT和DFS之间的关系，DTFT ZT(续)，2。DFT与DFS有限长序列周期序列的关系：它是由以n为周期的周期延拓形成的，这时，周期延拓也可以用互补符号来表示。n.u .17，2020/5/27，即主区间序列，主区间序列：schoolofphysicsandtechnologyn .n.u .18，2020/5/27，schoolofphysicsandtechnologyn .n.u .19，2020/5/27，周期序列的DFS，有限长度序列的DFT，是主值区间的序列，成立条件n m，物理与技术学院n。n.u .20，2020/5/27，DFT，DFS，schoolofphysicsandtechnologyn .21，2020/5/27，DFT与DFS :的关系，有限长度序列的DFT变换X(k)X(n)，它是周期连续序列的DFS系数的主要区间序列，物理与技术学院。注意，2020年5月22日，DFS和DTFT :之间的关系，周期性连续序列的频谱特征由傅立叶级数的系数确定，并且振幅相差恒定因子DFT:这是主要值区间序列。它代表了周期序列的光谱特征。物理与技术学院。n.u .23，2020/5/27，3.1.3 DFT的矩阵方程代表。物理与技术学院。24，2020/5/27，DFT的矩阵方程表示(续)，IDFT的矩阵表示，dn-正交矩阵，物理与技术学院。使用MATLAB计算序列的离散傅立叶变换，xn=11111111；%输入时域序列向量xn=R8(n)Xk32=fft(xn，32)；% 32点DFTXk64=fft(xn，64)用于xn计算；xn计算的% 64点离散傅立叶变换%以下是图纸零件K=0:3，031；wk=2 * k/32；%生成32点DFT对应的采样点频率(约归一化值)子图(2，2，1)；阀杆(wk，abs(Xk32)，)；%绘制32点离散傅立叶变换的幅频特性图的标题(a)32点离散傅立叶变换的幅频特性图)；XL Abel(/ pi)；伊拉贝尔子情节(2，2，3)；阀杆(wk，角度(Xk32)，)；%绘制32点离散傅立叶变换的相频特性图的标题(b)32点离散傅立叶变换的相频特性图)；XL Abel(/ pi)；伊拉贝尔(阶段)；坐标轴(0，2，-3.5，3.5)k=0:63；wk=2 * k/64；%生成64点DFT对应的采样点频率(约归一化值)子图(2，2，2)；阀杆(wk，abs(Xk64)，)；%绘制标题(c) 64点离散傅立叶变换的幅频特性图(c)64点离散傅立叶变换的幅频特性图)；XL Abel(/ pi)；伊拉贝尔子情节(2，2，4)；阀杆(wk，角度(Xk64)，)；%绘制64点DFT相位频率特性图标题(d)64点DFT相位频率特性图)XLABEL(/ PI)；伊拉贝尔(阶段)；坐标轴(0，2，-3.5，3.5)，物理与技术学院，26，2020/5/27，物理与技术学院，27，2020/5/27，摘要，离散傅立叶变换引入的离散傅立叶变换的定义，离散傅立叶变换与离散傅立叶变换的关系，ZT与DTFT，离散傅立叶变换的矩阵表示，3.2离散傅立叶变换的主要性质，物理与技术学院。n.u .29，2020/5/27，1 .线性性质，设x1(n)，x2(n)为有限长度序列，n点长度的离散傅里叶变换分别是，如果是，物理和技术学院。n.u .30，2020/5/27，2 .密度泛函的隐含周期性，所以X(k)满足：另外，这可以从密度泛函和DTFT之间的关系中理解：因为X(k)在区间上的n个点以相等的间隔采样，并且取2作为周期，X(k)取n作为周期。schoolofphysicsandtechnologyn .n.u .31，2020/5/27，3 .循环移位属性，循环移位：有限长度序列x(n)，序列长度m，序列的循环扩展，周期为NMx(n)的循环移位序列：向左移位m个单位，然后取主值序列，循环移位相当于旋转移位在圆上的序列排列(见图)。因此，离散傅立叶变换，也称为循环移位循环移位序列，与原序列x(n)的离散傅立叶变换有什么关系？schoolofphysicsandtechnology n . n . u .32，2020/5/27，schoolofphysicsandtechnology n . n . u .33，2020/5/27，序列循环移位后的DFT(循环移位属性)证明：schoolofphysicsandtechnologyn .可以看出，对于时域有限长度序列x(n)的循环移位，存在一些性质：类似地，对于频域有限长度序列X(k)的循环移位，存在以下逆变换性质。n.u .35，2020/5/27，4 .复共轭序列的密度泛函，设为复共轭序列，当n是偶数时，用n/2-n代替n，可以看出对称中心是n/2，物理和技术学院n。n.u .37，2020/5/27，共轭反对称序列。当N是偶数时，用n/2-n替换N。对于任何有限长度序列x(n)，它可以表示为用N-n替换N，取共轭如下。物理与技术学院。n.u .38，2020/5/27，DFT的共轭对称性：序列的实部和虚部之和。n.u .39，2020/5/27，序列的共轭对称和共轭反对称之和。n.u .40，2020/5/27，DFT共轭对称性概述：实共轭对称分量，j虚共轭反对称分量，schoolofphysicsandtechnologyn .n.u .41，2020/5/27，实序列DFT的特征，设x(n)为长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则X(k)具有共轭对称性并以极坐标形式书写，关于k=N/2点的偶对称性和关于k=N/2点的奇对称性。物理和技术学院。联合国，42，2020/5/27。实序列的密度泛函满足共轭对称性。通过使用这个特性，只要已知X(k)的一半数目，就可以获得X(k)的另一半。该特性可用于离散傅立叶变换操作中，以提高操作效率。两个不同实序列的密度泛函是用一个复序列的N点密度泛函得到的。如果两个不同实序列的DFT:是一个长度为N的实序列，并被组合成一个复序列，那么，物理和技术学院。注意，43，2020/5/27，实序列的2N个点的密度泛函可以被分裂和重组为N点复序列的密度泛函：如果DFT :是实序列，则2N的长度被分割并重新组合成n点DFT，以找到X(k)=DFTx(n)，X1(k)和X2(k)是根据前面的方法获得的，然后根据下面的公式获得V(k)。物理与技术学院。n.u .44，2020/5/27，6 .循环卷积定理，有限长度序列x(n)和h(n)，长度N和M，L=最大N，M。x(n)和h(n)的L点密度泛函分别是：如果Y(k)=H(k)X(k)，或，物理与技术学院。(1)两个有限长度序列的循环卷积(循环卷积)序列的长度分别为n和m的L点循环卷积被定义为，物理和技术学院。n.u .46，2020/5/27，通过使用矩阵来计算循环卷积，以形成循环反转序列，即，所形成的序列是，Schoolofphysicsandtechnologyn。n.u .47，2020/5/27，当n和m从0变为L-1时获得的矩阵，在第一行中，循环反转序列的前一行循环地向右移动，以形成平行于对角线的其他行。每个元素的值是相等的。物理与技术学院。n.u .48，2020/5/27，循环卷积矩阵计算公式，物理与技术学院。n.u .49，2020/5/27，示例3.2.1计算序列的4点和8点循环卷积，并求解4点循环卷积。n.u .50，2020/5/27，8点循环卷积。当时，循环卷积的结果等于线性卷积！循环卷积的计算很复杂。物理与技术学院。联合国，51，2020/5/27，(2)时域中的离散傅立叶变换循环卷积定理。序列长度分别为n和m的L点循环卷积定义为“与”，物理和技术学院。联合国，52，2020/5/27。DFT的时域循环卷积定理(续)，证明：物理与技术学院。n.u .53，2020/5/27，DFT的时域循环卷积定理(续)，循环L，DFT:时域循环卷积频域积，物理与技术学院。n.