高等数学大一第二学期总复习题

总复习,不定积分定积分微分方程,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,如果在区间,I,内，可导函数,的导函数为,，即,I,x,，都有,或,，那么函数,就称为,或,在区间,I,内原函数,.,不定积分,2、不定积分,(1)定义,在区间,I,内，函数,的带有任意常数项,的原函数称为,在区间,I,内的,不定积分,，记,为,(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3)不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),2、第一类换元积分法,1、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,不定积分的计算,常见类型:,3、第二类换元积分法,第二类换元公式,（主要应用于无理函数的不定积分）,当被积函数中含有,令,令,令,三角代换的一般规律:,倒代换,分母的阶较高时,可采用,1.原则:,2.经验:,3.题目类型:,化简型;,循环型;,递推型.,v要易求;,易求.,“指三幂对反三”的顺序,前为,后为,4、分部积分法,例：一条曲线过点(1,4)，且在每一点处的切线斜率为，求该曲线方程。,(A)有极限存在；（B）连续；(C)有界；（D）有有限个间断点,选择题,D,特殊形式的定积分计算,1.对称区间上的积分,考察被积函数是否为奇偶函数,用奇偶函数,的“特性”处理.,2.分段函数的积分,认清积分限是被积函数定义域的哪个区间,的端点,然后按段积分求和.,3.被积函数带有绝对值符号的积分,在作积分运算之前设法去掉绝对值.,(注意符号!),定积分,1、定积分的定义,定积分是一个数,例,解,则,(2),(3),2.关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,断点,充分条件,(1),有界.,必要条件,3、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7(定积分中值定理),性质6,积分中值公式,4、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,推论,P235：3,4,例,解,这是型不定式,分析,应用洛必达法则,定理3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,5、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,6、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,(1),即,7、定积分在几何中的应用的常用公式,(1)平面图形的面积,(2),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积A.,P265:1(单号)求曲线所围成图形的面积,(2)体积,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,微分方程,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,(3)一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,线性无关,定义,线性相关.,否则称,线性无关.,如,线性相关,该区间内恒等式,如果存在两个不全为零的常数k1和k2,使得当x在,则称这两个函数在区间I内,为定义在区间I内的函数.,即仅当k1=k2=0时上述等式成立.,成立,实际上,线性无关.,若在I上有,、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解