高中数学第一学期总结 人教版

高中数学第一学期总结 集合知识要点：重点、难点：（一）关于集合的定义：要掌握两个集合在全集中的相互关系的文氏图，明确图中各区域的意义；要掌握子集概念及子集关系的充要条件。当题目要求写出解集时却错误地用不等式表示，这是本节最容易扣分的一个问题。要掌握求个数，求集合，求元素和判定关系四种题型。1. 两个元素的集合共有4个子集；3个元素的集合共有8个子集。个2. 在求集合时要注意区间的开闭。如：，则。3. 求元素的方法主要是构造方程（组）。或画出文氏图，推理出所求集合中的元素。4. 判定关系有两种，其一为判定元素与集合关系，实质是比较大小。其二为判定集合与集合关系，方法是把两个集合在对应区间的元素用列举法表示出来再加以比较。5. 判定两个命题之间的充要关系。设两个命题对应的集合为A、B若，则称A为B的充分不必要条件，即若有元素属于A，则其属于B必然成立。那么A是B的充分条件或说B是A的必要条件。（同一个原命题的逆命题和否命题互为逆否命题）记法A= 关系（AB）(AB)且结论P时q的充分非必要条件P是q的必要不充份条件P是q的充要条件P是q的既不充分也不必要条件（二）关于空集：定义：不含任何元素的集合叫空集。空集是任何非空集合的真子集。因此在求集合的子集时，不应忘记空集。（三）关于子集：“A是B的子集”按定义，A中的任何一个元素都是B中的元素。即由任一个必有，证为。若用文氏图表示，似乎A是B的一部分，其实，这是不妥的，因为空集中是没有元素的，而且，也不是一部分。因此不能把子集理解为由原来集合中的部分元素组成，一定要用子集的定义 （四）符号与（或）的区别。符号用于元素与集合之间，符号用两个集合之间，不能混用。不等式的性质及解法知识要点：（一）不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。（二）不等式的性质可分为：1）、公理这也是将不等式问题比较两个实数a、b的大小，转化为恒等变形问题的依据。2）、基本性质：（1）对称性这个性质等式中也存在，即，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：这个基本不等式本身就有及两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。（2）传递性这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。（3）移项法则如：，相当于在这个不等式两边同时加上3得到的。（三）运算性质：（1）加法运算：（2）减法运算：统一成加法运算（3）乘法运算：（4）除法运算：统一成乘法运算（由在（0，+）上是减函数，）（5）乘方运算：（6）开方运算：（四）函数的单调性：（1） （）（2） （）诸如此类：上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。解不等式的每一步都要求是同解变形。一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运用数轴与图象的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等式问题中都有着广泛的应用。解不等式的方法有：图象法一元二次不等式、高次不等式；转化法分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。1、一元二次不等式的解法解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系求根、画图象、写解集例1：解关于x的不等式其中解：由一元二次方程的根为知（1）当，即时二次函数的草图为：故原不等式的解为 （2）即时二次函数的草图为：故原不等式的解为（）（3），即a=1时二次函数的草图为：故原不等式的解为综上，当时原不等式的解集为；当时原不等式解集为；当时原不等式解集为。例2：已知关于x的不等式的解集是。求关于x的不等式的解集。解：此题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论知解集求原不等式中待定常数的值。的解集是y=的草图应为： 故：不等式可化为 解得其解集为2、高次不等式的解法解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根（因式分解）、画图象（穿针引线）、写解集。 穿针引线的注意事项：因式分解为(x+a)(x+b)(x+c)=0的形式；从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点；奇穿偶不穿，一个因式的次数如果偶次，则不穿过这个点，直接传下一个点，但当不等式是或时，要取到这个零点例：解不等式 解：方程可化为知其根为故函数的草图为：因此，原不等式的解集为3、分式不等式的解法解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。首先将不等式经过同解变形，化成或（）的形式，然后再利用同种变形：或例：解不等式解：移项，通分得转化为解得，所求不等式的解集为4、无理不等式的解法解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。 5、指数不等式和对数不等式的解法解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。如果等式一边是对数式，另一边是普通代数式，应该采用去对数的方法。如中，f(x)可转化为 时， 6、绝对值不等式解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。7、含字母系数的不等式对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于x的不等式，对x进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x的不等式，对除x以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。8、形如的形式，得例，得不等式的证明及应用知识要点：1不等式证明的基本方法：（1）比较法：用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2 0; | a | 0; ; 等），推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。（3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。2不等式证明的其它方法：（1）反证法：先否定命题结论，提出假设，由此出发运用已知及已知定理推出矛盾。根据原命题与逆否命题等价，得证。（2）传递法：理论依据 a b, b c a c（3）函数单调性法。3数（式）大小的比较：（1）作差或作比法（2）媒介法（重点在指对函数）（3）函数单调性法4不等式在函数中的应用：（1）求函数的定义域（2）求函数的值域（3）研究函数的单调性5方程与不等式解的讨论（1）讨论一元二次方程有严格的顺序性：。（一a 二判 三韦达）（2）函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。函数知识要点： 基本概念： 一般地，设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集保A、B和从A到B的对应法则）叫做A到B的映射。说明：（1）A中的元素在B中有象且唯一；（2）B中的元素在A中不一定有原象；（3）B中的元素在A中的原象可以是一个，也可以多于一个。基本要求：a) 对于给定的对应会判断是否为映射；b) 对于给定的映射，会求指定元素的象和原象。理解函数的定义及三要素基本概念：设A、B都是非空数集，是从A到B的一个对应法则，则A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数。记作：y=f(x),xA,yB 原象的集合叫做函数f(x)的定义域 ，用A表示； 象的集合叫做函数f(x)的值域，用C表示； 明显有CB说明（1）A、B都是非空数集；（2）f 是集合A到B的映射；（3）值域CB理解函数定义域并掌握求函数定义域的基本原则和方法。基本概念：定义域是自变量X的取值范围即指能使这个式子有意义的所有X的集合。 复合函数：如果y是u 的函数，而u又是x的函数，即y=f(u).u=g(x),那么y关于x的函数u=fg(x)叫做函数f和g的复合函数。基本要求 掌握各种类型函数的定义域的求法一一转化成不等式或不等式组解决问题具体函数求定义域基本原则：（1）有理分式函数（2）偶次方根的被开方数非负，即 （3）对数函数中 ， （4）函数（5）实际应用问题中要考虑自变量的实际意义；理解函数的对应法则并掌握求对应法则的方法基本要求：能熟练运用换元法、待定系数法、拼凑法、求函数的对应法则理解函数的值域并掌握求函数值域的各种方法基本概念：值域是指全体函数值所构成的集合。基本要求：熟练掌握求函数的值域的各种方法 1、观察法： 2、配方法 3、数形结合（图象法） 4、判别式法： 5、利用已知函数的有界性或单调性求值域理解函数奇偶性的概念，并会用以作判断和证明。基本概念：（1）对于函数：1、如果对于函数定义域内任意一个x,都有。那么函数叫做奇函数。2、如果对于函数定义域内任意处理一个x，都有f (-x) = f (x)，那么函数 叫做偶函数说明：x与-x同在定义域内，则定义域必须关于原点对称。（2）1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形；若一个函数的图象关于原点成中心对称图形，那么这个函数是奇函数。2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；若一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，那么这个函数是奇函数。说明：（1）若奇函数 在0上有定义，则必有。（2）若 既为奇函数又为偶函数，则必有基本要求 掌握判断、证明函数奇偶性的方法判断，证明函数的单调性。基本概念：对于给定区间A上的函数,在A内任取两个值x1 , x2 。（1）当x1 , x2 时，都有, 则说在A上是增函数。（2）当 x1 ,10a0单调性增函数减函数质函数值x=0时，y=1分布情况x0时，y1x0时，0y0时，0y1x1图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有；（2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，时，；（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反； （3）当时， 当时，（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。（4）当时，是增函数，当时，是减函数。对数函数： a10a0性值域R单调性增函数减函数质函数值x=1时，y=0分布情况x1时，y00x1时y1时，y00x1图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）时，。即；（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反；（3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；（4）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。（4）时，是增函数；时，是减函数。基本要求：熟练掌握幂指、对函数的定义，图象，性质。掌握幂、指、对函数的应用。会解简单的指数对数方程和指数、对数不等式。对数的运算法则：对数换底公式：由换底公式可得：由换底公式推出一些常用的结论：（1）（2）（3）（4）指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型不同底数型需代换型取以a为底的对数取以a为底的对数取同底的对数化为换元令转化为的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题对数式转化为指数式同底数型转化为（必须验根）需代换型换元令转化为代数方程*关于指对函数定义域或值域为R的问题例题分析：设f(x)=lg(x22x+a)的定义域为R，求a的取值范围；如果f(x)的值域为R，a的范围又如何呢？分析：定义域为R转化为真数大于0恒成立，值域为R，则x22x+a的范围要包含(0，+)上所有的值即可，即0.解：由条件知不等式x22x+a0的解集是R，则44a0，解得a(1，+).如果值域是R，则真数x22x+a必须“取遍”所有正实数，则44a0，a(，1.含有函数记号“”有关问题解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ,求.解：设,则2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3 已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4