2021版高考数学一轮复习 核心素养测评七十七 坐标系 理 北师大版

核心素养测评七十七 坐标系1.(10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线c.(1)求曲线c的标准方程.(2)设直线l:2x+y-2=0与c的交点为p1,p2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段p1p2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线c上的点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1.由x12+y12=1,得x2+y22=1,即曲线c的标准方程为x2+y24=1.(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0,解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设p1(1,0),p2(0,2),则线段p1p2的中点坐标为12,1,所求直线的斜率为k=12,于是所求直线的方程为y-1=12x-12,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,故所求直线的极坐标方程为=34sin-2cos.2.(10分)(2019洛阳模拟)已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为=2,2-22cos-4=2.(1)将圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解析】(1)由=2知2=4,由坐标变换公式,得x2+y2=4.因为2-22cos-4=2,所以2-22coscos4+sinsin4=2.由坐标变换公式,得x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos +sin =1,即sin+4=22.3.(10分)(2018全国卷)在直角坐标系xoy中,曲线c1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为2+2cos-3=0.(1)求c2的直角坐标方程.(2)若c1与c2有且仅有三个公共点,求c1的方程.【解析】(1)由x=cos ,y=sin ,x2+y2=2得c2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知c2是圆心为a(-1,0),半径为2的圆.由题设知,c1是过点b(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点b在圆c2的外面,故c1与c2有且仅有三个公共点等价于l1与c2只有一个公共点且l2与c2有两个公共点,或l2与c2只有一个公共点且l1与c2有两个公共点.当l1与c2只有一个公共点时,a到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与c2没有公共点;当k=-43时,l1与c2只有一个公共点,l2与c2有两个公共点.当l2与c2只有一个公共点时,a到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与c2没有公共点;当k=43时,l2与c2没有公共点.综上可得,k=-43,c1的方程为:y=-43|x|+2.4.(10分)已知曲线c的极坐标方程为2-22cos+4-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xoy.(1)若直线l过原点,且被曲线c截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程.(2)若m是曲线c上的动点,且点m的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.【解析】(1)2-22cos+4-2=0,即2-2cos +2sin -2=0,将x=cos,y=sin代入上式,得曲线c的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心c(1,-1),若直线l被曲线c截得的弦长最小,则直线l与oc垂直,即klkoc=-1,koc=-1,因而kl=1,故直线l的直角坐标方程为y=x.(2)因为m是曲线c上的动点,因而利用圆