2021版高考数学一轮复习 核心素养测评七十 排列、组合与二项式定理 理 北师大版

核心素养测评七十 排列、组合与二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.2020年寒假期间,有a,b,c,d,e,f6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,考虑到同学们到贫困村的距离问题,同学a不去甲村,同学b不去乙村,则安排方法共有()a.30种b.40种c.42种d.48种【解析】选c.6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,共有:c62c42=90种安排方法,其中a去甲村的情况有:c51c42=30种,b去乙村的情况有:c51c42=30种,a去甲村,同时b去乙村的情况有:c41c31=12种,所以符合题意的安排方法有:90-30-30+12=42种.2.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()a.12种b.18种c.24种d.36种【解析】选d.由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为c31c42a22=36(种).【一题多解】选d.c31c42c21=34322=36(种).3.甲、乙、丙、丁、戊5个人去某景区游玩,已知该景区仅有a、b两个景点,若这两个景点都必须有人去游玩且每人只能游玩一个景点,则所有的情况有()a.15种b.30种c.45种d.60种【解析】选b.依题意,所有的情况有c54c11+c53c22a22=30(种).4.(2+33)100的展开式中,无理数项的个数是()a.84b.85c.86d.87【解析】选a.(2+33)100展开式的通项为tr+1=c100r(2)100-r(33)r=c100r250-r23r3,r=0,1,2,100,所以当r是6的倍数时,tr+1为有理项,所以r=0,6,12,96,共17项,因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是101-17=84.【变式备选】在2x-1x5的展开式中,x2的系数为_.【解析】2x-1x5的展开式中,通项公式为tr+1=c5r(2x)5-r-1xr=(-1)r25-rc5rx5-32r,令5-32r=2,解得r=2,所以x2的系数=23c52=80.答案:805.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()a.30种b.50种c.60种d.90种【解析】选b.若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有c21c101=20种选法,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有c31c101=30种选法,所以共有20+30=50种.【变式备选】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国元首的安全,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有()a.96种b.100种c.124种d.150种【解析】选d.因为三个区域每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,有两种分组的情况:一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时,共有n1=c51c41c33a22a33=60(种),当按照1,2,2来分时,共有n2=c52c32c11a22a33=90(种),根据分类加法计数原理知n=n1+n2=150种.6.设(1+x)n=a0+a1x+anxn,若a1+a2+an=63,则展开式中系数最大的项是 ()a.15x3b.20x3c.21x3d.35x3【解析】选b.在(1+x)n=a0+a1x+anxn中,令x=1得2n=a0+a1+a2+an;令x=0,得1=a0,所以a1+a2+an=2n-1=63,所以n=6.而(1+x)6的展开式中系数最大的项为t4=c63x3=20x3.【变式备选】已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()a.39b.310c.311d.312【解析】选d.由题意得,因为(x+2)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,两边同时求导,可得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4+9a9=9,又(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7-8a8+9a9)=3109=312.7.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序a只能出现在第一或最后一步,程序b和c在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有 ()a.34种b.48种c.96种d.144种【解析】选c.根据题意,程序a只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把a排列,有a21=2种结果,又由程序b和c实施时必须相邻,把b和c看成一个元素,同除a外的3个元素排列,注意b和c之间还有一个排列,共有a44a22=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有248=96种结果.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018全国卷)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)【解析】恰有1位女生,有c21c42=12种,恰有2位女生,有c22c41=4种,所以不同的选法共有12+4=16种.答案:16【变式备选】有编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,要求1号车必须在3号车前出发,共有_种出发顺序.【解析】编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,共有a66种出发顺序,要求1号车必须在3号车前出发,所以有a66a22=6543=360(种)出发顺序.答案:3609.在二项式x+3xn的展开式中,各项系数之和为a,各项二项式系数之和为b,且a+b=72,则展开式中常数项的值为_.【解析】在二项式x+3xn的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,即a=4n,二项展开式中的二项式系数之和为2n,即b=2n.因为a+b=72,所以4n+2n=72,解得n=3,所以x+3xn=x+3x3的展开式的通项为tr+1=c3r(x)3-r3xr=3rc3rx3-3r2,令3-3r2=0,得r=1,故展开式中的常数项为t2=3c31=9.答案:910.平面上有9个红点,5个黄点,其中2个红点,2个黄点共4个点在同一条直线上,其余再无三点共线,以这些点为顶点且三个顶点颜色不完全相同的三角形的个数是_.【解题指南】先考虑全部14个点确定的三角形,再排除不符合条件的情形.【解析】由9+5=14个点中选取3个点有c143种方法,其中3个点共线的情形有c43种,3个点都是红色的情形有c93种,3个点都是黄色的情形有c53种,所以满足要求的三角形的个数为c143-c43-c93-c53=266.答案:266(25分钟45分)1.(5分)把一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是()a.168b.96c.72d.144【解析】选d.根据题意,有2个人各得1张,有2个人各得2张,先把这6张电影票分成4种情形,有c42种方法,再把这4种情况全排列,有a44种方法,所以不同的分法种数是c42a44=144.【一题多解】选d.先把6张票分成4份,有以下情况:12,34,5,6;12,3,45,6;12,3,4,56;1,23,45,6;1,23,4,56;1,2,34,56共6种方法,再把每一种情形对应分给4个人,有a44种方法,所以不同的分法种数是6a44=144.2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()a.56b.84c.112d.168【解析】选d.根据(1+x)8和(1+y)4的展开式的通项公式可得,x2y2的系数为c82c42=168.3.(5分)大数据时代出现了滴滴打车服务,二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的a,b,c,d四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中a户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自一个家庭的乘坐方式共有()a.18种b.24种c.36种d.48种【解析】选b.当a户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时,则另两个小孩,是另外两个家庭的一个小孩,有2c3222=24种方法.4.(10分)如表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?学校专业112212312【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并排列,共有a43种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有a32a32a32种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同的填表方法有:a43a32a32a32=5 184种.5.(10分)已知43b+15b5的展开式中的常数项等于3a-3an的展开式中的二项式系数和.(1)求3a-3an的展开式的各项系数和.(2)求55n除以8的余数.【解析】因为43b+15b5的展开式中的通项公式为tr+1=c5r(43b)5-r15br=c5r15r45-rb53-56r,所以当r=2时取得常数项, 常数项t3=c5215243=27,因为3a-3an的展开式中的二项式系数和为2n,所以2n=27即n=7.(1)令a=1,可得3a-3an展开式的各项系数和为27=128.(2)557=(56-1)7=c70567-c71566+c7656-c77,所以其除以8的余数为7.6.(10分)有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内,(1)共有多少种放法?(2)恰有1个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有1个盒子放2个球,有多少种放法?(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44=256(种).(2)为保证“恰有1个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿走1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有c42种分法;然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球,2个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理知,共有放法c41c42c31a22=144(种).(3)“恰有1个盒子放2个球”,即另外的3个盒子放剩下的2个球,而每个盒子至多放1个球,即另外3个盒子