2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十六 椭圆 理 北师大版

核心素养测评五十六 椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019北京高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则()a.a2=2b2b.3a2=4b2c.a=2bd.3a=4b【解析】选b.离心率平方e2=c2a2=a2-b2a2=14,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为f1,f2,离心率为33,过f2的直线l交c于a,b两点.若af1b的周长为43,则c的方程为()a.x23+y22=1 b.x23+y2=1 c.x212+y28=1 d.x212+y24=1【解析】选a.由已知及椭圆的定义知4a=43,即a=3,又ca=c3=33,所以c=1,b2=2,所以c的方程为x23+y22=1.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为53,椭圆上一点p到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()a.8b.6c.5d.4【解析】选a.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=ca=53,椭圆上一点p到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=25,所以b=a2-c2=36-20=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.设f1,f2分别为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,点p在椭圆上,且|+|=23,则f1pf2=()a.6b.4c.3d.2【解析】选d.若o为坐标原点,即o为f1,f2的中点,则+=2,因为|+|=23,所以|po|=3,又|of1|=|of2|=4-1=3,所以p,f1,f2在以点o为圆心的圆上,且f1f2为直径,所以f1pf2=2.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,过点f2的直线交椭圆于p,q两点,且pf1|pq|qf1=234,则椭圆的离心率为 ()a.177b.1717c.519d.176【解析】选c.设pf1=2,pq=3,qf1=4,则pf2=2a-2,qf2=2a-4,(2a-2)+(2a-4)=3,得a=94,则pf2=52.在pf1q中,由余弦定理有cos qpf1=22+32-42223=-14.在pf1f2中,由余弦定理有f1f2=22+522-2252-14=512,则椭圆的离心率为51292=519.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020南阳模拟)已知o为坐标原点,f为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,过点f且倾斜角为120的直线与椭圆c交于第一象限一点p,若pof为正三角形,则椭圆c的离心率为_.【解析】因为|of|=c,pof为正三角形,所以|po|=c,则点p的坐标为12c,32c,故有12c2a2+32c2b2=1,a2=b2+c2,e=ca,整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-23,所以e=4-23=3-1.答案:3-17.已知f是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,p是此椭圆上的动点,a(1,1)是一定点,则|pa|+|pf|的最大值为_,最小值为_.【解析】设f1是椭圆的右焦点,则f1(2,0),所以|af1|=2,所以|pa|+|pf|=|pa|-|pf1|+6,又-|af1|pa|-|pf1|af1|(当p,a,f1共线时等号成立),所以|pa|+|pf|6+2,|pa|+|pf|6-2.答案:6+26-28.已知f是椭圆c:x220+y24=1的右焦点,p是c上一点,a(-2,1),当apf周长最小时,其面积为_.【解析】椭圆c:x220+y24=1的a=25,b=2,c=4,设左焦点为f(-4,0),右焦点为f(4,0).apf周长为|af|+|ap|+|pf|=|af|+|ap|+(2a-|pf|)=|af|+|ap|-|pf|+2a|af|-|af|+2a,当且仅当a,p,f三点共线,即p位于x轴上方时,三角形周长最小.此时直线af的方程为y=12(x+4),代入x2+5y2=20中,可求得p(0,2),故sapf=spff-saff=1228-1218=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,且椭圆c经过点(2,3).(1)求椭圆c的标准方程.(2)过点p(2,1)作直线l与该椭圆相交于a,b两点,若线段ab恰被点p所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得ca=12,c2=a2-b2,4a2+3b2=1,解得a2=8,b2=6,所以椭圆c的方程为x28+y26=1.(2)由题意点p在椭圆内部,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x128+y126=1,x228+y226=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)8+(y1+y2)(y1-y2)6=0,ab的中点为p(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得4(x1-x2)8+2(y1-y2)6=0,得kab=y1-y2x1-x2=-32.所以直线l的方程为y-1=-32(x-2),即3x+2y-8=0.10.若a(x1,y1),b(x2,y2)是椭圆e:x29+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段ab的垂直平分线的方程.(2)求直线ab在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设ab的中点为m,则m1,12,由 x129+y12=1,x229+y22=1,得(x1-x2)(x1+x2)9+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以 29(x1-x2)+(y1-y2)=0y1-y2x1-x2=-29,即kab=-29,所以线段ab的垂直平分线的斜率为92,所以线段ab的垂直平分线的方程为y-12=92(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知ab斜率存在,设直线ab:y=kx+m.由y=kx+m,x2+9y2=9,得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-18km1+9k2=2,即9k2+9km+1=0,因为a(x1,y1),b(x2,y2)是椭圆e:x29+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ 1-9k23,当且仅当k=-13时,取等号,此时,k=-13,m=23满足.所以直线ab在y轴上截距的最小值为23.(15分钟35分)1.(5分)(2020济南模拟)已知两圆c1:(x-4)2+y2=169,c2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆c1内部且和圆c1相内切,和圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.x264-y248=1b.x248+y264=1c.x248-y264=1d.x264+y248=1【解析】选d.设圆m的半径为r,则|mc1|+|mc2|=(13-r)+(3+r)=168=|c1c2|,所以m的轨迹是以c1,c2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为x264+y248=1.【变式备选】已知椭圆c:x24+y23=1,m,n是坐标平面内的两点,且m与c的焦点不重合,若m关于c的焦点的对称点分别为a,b,线段mn的中点在c上,则|an|+|bn|=()a.4b.8c.12d.16【解析】选b.设mn的中点为d,椭圆的左、右焦点分别为f1,f2,如图,连接df1,df2,因为f1是ma的中点,d是mn的中点,所以f1d是man的中位线,则|df1|=12|an|,同理|df2|=12|bn|,所以|an|+|bn|=2(|df1|+|df2|),因为d在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|df1|+|df2|=4,所以|an|+|bn|=8.2.(5分)(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(-1,0),f2(1,0),过f2的直线与c交于a,b两点.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,则c的方程为()a.x22+y2=1b.x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=1【解析】选b.如图,由已知可设f2b=n,则af2=2n,bf1=ab=3n,由椭圆的定义有2a=bf1+bf2=4n,所以af1=2a-af2=2n.在af1b中,由余弦定理推论得cosf1ab=4n2+9n2-9n222n3n=13.在af1f2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n13=4,解得n=32.所以2a=4n=23,所以a=3,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为x23+y22=1.【变式备选】已知点a,b分别为椭圆c:x225+y29=1的右顶点和上顶点,点p在椭圆c上,则使pab为等腰三角形的点p的个数是()a.2b.3c.4d.5【解析】选c.由题意知a(5,0),b(0,3).当pab以apb为顶角时,显然ab中垂线与椭圆有两个交点,即点p有两个;当pab以abp为顶角时,|ab|=34,设p(x,y),|pb|=x2+(y-3)2=34,且x225+y29=1,解得y=0或y=-278(舍去),此时p有一个;当pab以pab为顶角时,|pa|=y2+(x-5)2=34,且x225+y29=1,解得x=0或x=1258(舍去),此时p有一个.综上,点p有4个.3.(5分)如图,在平面直角坐标系xoy中,f是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于b,c两点,且bfc=90,则该椭圆的离心率是_.【解题指南】利用kbfkcf=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=b2与椭圆的方程联立得b-32a,b2,c32a,b2,f(c,0),则kbf=b2-32a-c,kcf=b232a-c,因为bfc=90,所以kbfkcf=b2-32a-cb232a-c=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=ca=63.答案:634.(10分)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点m(2,1)在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程.(2)直线l平行于om,且与椭圆c交于a,b两个不同的点.若aob为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有a2-b2a=32,4a2+1b2=1,解得a2=8,b2=2,所以所求椭圆c的方程为x28+y22=1.(2)由直线l平行于om,得直线l的斜率k=kom=12,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=12x+m.由y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆c交于a,b两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,又aob为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+12x1+m12x2+m=54x1x2+m2(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入,化简整理得m22,即-2mb0)的一个顶点为a(2,0),离心率为22.直线y=k(x-1)与椭圆c交于不同的两点m,n.(1)求椭圆c的方程.(2)当amn的面积为103时,求k的值.【解析】(1)由已知a=2,ca=22,a2=b2+c2,得b=2,所以椭圆c的方程为x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点m(x1,y1),n(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,所以|mn|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2,又因为点a(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k|1+k2,所以amn的面积为s=12|mn|d=|k|4+6k21+2k2,由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=1,所以所求k的值为1.【一题多解】(2)(画出草图,观察发现直线y=k(x-1)过定点p(1,0),amn被x轴分成上下两部分,samn=samp+sanp=12|ap|ym|+12|ap|yn| =12|ap|ym-yn|.设点m(x1,y1),n(x2,y2),由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,因为直线y=k(x-1)过椭圆内的定点p(1,0),所以0,x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,所以samn=12|ap|y1-y2|=12|k|x1-x2| =12|k|(x1+x2)2-4x1x2=|k|4+6k21+2k2,由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=1,所以所求k的值为1.1.设点p为椭圆c:x249+y224=1上一点,f1,f2分别是椭圆c的左、右焦点,且pf1f2的重心为点g,若|pf1|pf2|=34,则gpf1的面积为()a.24b.12c.8d.6【解析】选c.因为点p为椭圆c上一点,|pf1|pf2|=34,|pf1|+|pf2|=2a=14,所以|pf1|=6,|pf2|=8,又因为|f1f2|=2c=10,所以pf1f2是直角三角形,spf1f2=12|pf1|pf2|=24,因为pf1f2的重心为点g,所以spf1f2=3sgf1p,所以gpf1的面积为8.2.以f1(-1,0),f2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离