2021版高考数学一轮复习 第七章 算法、复数、推理与证明 7.4 直接证明与间接证明、数学归纳法练习 理 北师大版

7.4 直接证明与间接证明、数学归纳法核心考点精准研析考点一反证法的应用1.用反证法证明命题:“a,b,c,dr,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()a.a,b,c,d至少有一个正数b.a,b,c,d全为正数c.a,b,c,d全都大于等于0d.a,b,c,d中至多有一个负数2.对于命题:“若ab=0(a,br),则a=0或b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是()a.假设a,b都不为0b.假设a,b至少有一个不为0c.假设a,b都为0d.假设a,b中至多有一个为03.若数列an是各项均为正数的等比数列,公比q1,求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.【解析】1.选c.用反证法证明命题:“a,b,c,dr,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为a,b,c,d全都大于等于0.2.选a.用反证法证明命题“若ab=0(a,br),则a=0或b=0”时,假设正确的是:假设a,b都不为0.3.假设1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),即1-2an+1+an+12=1+anan+2-(an+an+2),因为数列an是等比数列,所以an+12=anan+2,所以2an+1=an+an+2,所以数列an是等差数列,所以数列an是常数列,这与已知相矛盾,故假设不成立,所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.考点二分析法的应用【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0;a-c0;(a-b)(a-c)0;(a-b)(a-c)0.2.已知数列an是各项都是互不相等的正数的等差数列,求证:a1+a32a2.【解题导思】序号联想解题1由a+b+c=0,想到 b=-a-c由b2-acbc,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要证“b2-ac3a”,只要证b20,即证2a2-c2-ac0,(a-c)(a+a+c)0,即证(a-c)(a-b)0,故“b2-ac0.答案:2.要证a1+a32a2,只要证a1+a3+2a1a34a2,因为数列an是等差数列,所以a1+a3=2a2,只要证a1a3a2,只要证a1a3a1+a32,因为数列an各项均为互不相等的正数,所以a1a3a1+a32成立,所以a1+a30,且an2,故an+1=an+2,所以an+1-2an-2=an+2-2an-2=an+2-2an+2+2an-2an+2+2=1an+2+2,显然an0,an+2+23,所以an+1-2an-2130),当a0时,f(x)0时,x0,1a时,f(x)0,故f(x)在0,1a递减,在1a,+递增.(2)当a=3时,f(x)=1x+3ln x-2,令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,则h(x)=2x+3x-1x(x0),令h(x)0,解得:x1,令h(x)0,解得:0x1,故h(x)在0,1递减,在1,+递增,故h(x)极小值=h(x)min=h1=40,显然成立,故g(x)f(x)恒成立.构造差函数用什么方法证明恒成立?提示:构造差函数,通过求出差函数的最小值证明.与立体几何有关的证明【典例】如图,三棱柱abc-a1b1c1,点a1在平面abc内的射影d在ac上,e是b1c1的中点,bac=caa1=60,且ab=ac=aa1.(1)求证:de平面aa1b1b.(2)求证:b1ca1b.【证明】(1)因为点a1在平面abc内的射影d在ac上,所以a1dac,又caa1=60,ac=aa1,所以d是ac的中点,取a1b1的中点f.连接ef,af.因为e是b1c1的中点,所以efa1c1,ef=12a1c1.所以efad,ef=ad.所以四边形adef是平行四边形,故afde.因为af平面aa1b1b,de平面aa1b1b.所以de平面aa1b1b.(2)连接bd,ab1,由(1)知d是ac的中点.又ab=ac,bac=60,所以bdac.所以ac平面a1bd.所以aca1b.又四边形aa1b1b是平行四边形,ab=aa1,所以ab1a1b.所以a1b平面ab1c.所以b1ca1b.1.设函数f(x)=x3+11+x,x0,1,证明:(1)f(x)1-x+x2;(2)3434,所以f(x)34.综上,343-2;又计算:5-20.236,6-50.213,7-60.196,所以5-26-5,6-57-6.(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.(2)判断该命题的真假,并给出证明.【解析】(1)一般性的命题:n是正整数,则n+1-nn+2-n+1.(2)命题是真命题.因为n+1-n=1n+1+n,n+2-n+1=1n+2+n+1,1n+1+n1n+2+n+1,所以n+1-nn+2-n+1.考点四数学归纳法的应用【典例】(2019福州模拟)设i为虚数单位,0,2).已知(cos +isin )2=cos 2+isin 2,(cos +isin )3=cos 3+isin 3,(cos +isin )4=cos 4+isin 4.(1)你能得到什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.(2)已知z=3+i,试利用(1)的结论求z10. 【解题导思】序号联想解题(1)猜想结论利用已知的式子观察、猜想数学归纳法证明按照数学归纳法证明的步骤证明(2)求z10将z化为三角形式代入计算【解析】(1)猜想:(cos +isin )n=cos n+isin n(nn*)成立.证明:当n=1时,左边=右边=cos +isin ,所以猜想成立;假设当n=k(kn*)时,(cos +isin )k=cos k+isin k成立,则当n=k+1时,(cos +isin )k+1=(cos +isin )k(cos+isin )=(cos k+isin k)(cos+isin )=(cos kcos -sin ksin )+i(sin kcos+cosksin )=cos(k+1)+isin(k+1),当 n=k+1时,猜想也成立;综上,由可得对任意nn*,猜想成立.(2)z=3+i=232+12i=2cos6+isin6,可得z10=210cos106+isin 106=1 024cos3-isin 3=1 02412-32i=512-5123i.关于数学归纳法的应用(1)涉及与正整数有关的命题,才可以考虑利用数学归纳法进行证明.(2)利用数学归纳法证明的关键是证明从k到k+1时仍然成立,一是先要弄清n=k时式子的结构特征,再要弄清n=k+1时式子结构、项的变化,二是证明n=k+1时要充分利用假设,即n=k时的结论.(2019黄山模拟)已知函数f1(x)=sin x2,xr,记fn+1(x)为fn(x)的导数,nn*.(1)求f2(x),f3(x).(2)猜想fn(x),nn*的表达式,并证明你的猜想.【解析】(1)f2(x)=f1(x)=12cos x2,f3(x)=-122sin x2=-14sinx2.(2)猜想:fn(x)=12n-1sinn-12+