2021版高考数学一轮复习 第七章 算法、复数、推理与证明 7.2 复数练习 理 北师大版

7.2 复数核心考点精准研析考点一复数的概念1.(2019合肥模拟)已知a,b均为实数,若a1-i+b1+i=1(i为虚数单位),则a+b= ()a.0b.1c.2d.-12.(2020吉林模拟)设i是虚数单位,1+2ia+i为实数,则实数a的值为()a.1b.2c.12d.323.已知复数z满足zi=-2-i(i为虚数单位),则|z|=()a.2 b.3c.2d.54.已知复数z的共轭复数是z,且|z|-z=2+ii,则z的虚部是.【解析】1.选c.由a1-i+b1+i=1,得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,即(a+b)+(a-b)i=2,则a+b=2a-b=0.所以a+b=2.2.选c.因为1+2ia+i=(1+2i)(a-i)(a+i)(a-i)=a+2a2+1+2a-1a2+1i为实数,所以2a-1=0,即a=12.3.选d.因为zi=-2-i,所以z=-1+2i,所以|z|=5.4.设z=a+bi(a,br),由|z|-z=2+ii,得a2+b2-a+bi=2+ii,所以2+i=-b+(a2+b2-a)i,所以b=-2.答案:-2关于复数的概念(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.考点二复数的几何意义【典例】1.在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为a,则a对应的复数为()a.1+2ib.1-2ic.-2+id.2+i2.(2020郑州模拟)已知复数z1=2-i2+i在复平面内对应的点为a,复数z2在复平面内对应的点为b,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为.3.(2019太原模拟)若zc且|z+3+4i|2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为m,m,则m-m=.【解题导思】序号联想解题1由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y)2由与虚轴垂直想到点a,b对应的复数虚部相等3由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹【解析】1.选c.依题意得,复数z=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点a(-2,1)对应的复数为-2+i.2.z1=2-i2+i=(2-i)2(2+i)(2-i)=35-45i,所以a35,-45,因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为b,所以z2的虚部为-45.答案:-453.由|z+3+4i|2,得z在复平面内对应的点在以q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.如图:|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点p(1,1)的距离,则m=|pq|+2,m=|pq|-2,则m-m=4.答案:4关于复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,br)za,b,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.(2)z-z1=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.1.(2020新余模拟)在复平面内,复数3+4i2+i对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选d.3+4i2+i=52+i=52-i2+i2-i=2-i,所以复数3+4i2+i在复平面内对应的点为2,-1,在第四象限.2.在复平面内,复数21-i对应的点与原点的距离是()a.1b.2c.2d.22【解析】选b.21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i.对应的点与原点的距离是1+i=2.考点三复数的四则运算命题精解读1.考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题.(2)考查数学运算、直观想象的核心素养.2.怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题.3.新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题.学霸好方法1.关于复数的四则运算及应用熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几何意义解决相关的问题.2.交汇问题与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决 复数四则运算的综合应用【典例】若z=1+2i,则4izz-1=()a.1b.-1c.id.-i【解析】选c.因为z=1+2i,则z=1-2i,所以zz=(1+2i)(1-2i)=5,则4izz-1=4i4=i.复数混合运算应注意什么?提示:分清运算层次,逐层进行运算.复数四则运算的几何意义【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1z2对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选d.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.复数四则运算的交汇问题【典例】(2019邢台模拟)若复数x=sin -35+cos-45i(r)是纯虚数,则cos +icos 2的共轭复数在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选c.因为复数x=sin -35+cos-45i(r)是纯虚数,所以sin-35=0cos-450,即sin =35,cos =-45(为第二象限角).则cos 2=1-2sin2=1-2352=725.所以cos +icos 2的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识?提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.1.(2020宜春模拟)已知复数z=12+32i,则z+|z|=()a.12-32ib.-12-32ic.32-32id.32+32i【解析】选c.因为复数z=12+32i,所以复数z的共轭复数z=12-32i,|z|=122+322=1,所以z+|z|=12-32i+1=32-32i.2.(2019闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点a,b对应的复数分别是z1,z2,则z22z1=.【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,所以z22z1=(2-i)2i=3-4ii=|3-4i|i|=5.答案:53.(2020人大附中模拟)复数z满足z1+2i=2-i(i为虚数单位),则z的模是.【解析】因为z1+2i=2-i,所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,所以|z|=42+32=5.答案:51.(2020商丘模拟)若acbd=ad-bc,则满足等式z-i1-i1+i=0的复数z=.【解析】由已知可得z-i1-i1+i=z(1+i)+i(1-i)=0,所以z=-1-i1+i=-1.答案:-12.(2019杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建