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文档简介
核心素养测评六十四 圆锥曲线中的探究性问题1. (2019德州模拟)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为f1,f2,离心率为12,p是椭圆c上的一个动点,且pf1f2面积的最大值为3.(1)求椭圆c的方程.(2)设直线pf2斜率为k(k0),且pf2与椭圆c的另一个交点为q,是否存在点t(0,t),使得|tp|=|tq|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当p为c的短轴顶点时,pf1f2的面积有最大值3,所以ca=12a2=b2+c2122cb=3 ,解得a=2b=3c=1 ,故椭圆c的方程为:x24+y23=1.(2)设直线pq的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入x24+y23=1,得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0;设px1,y1,qx2,y2,线段pq的中点为nx0,y0,x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=y1+y22=kx0-1=-3k3+4k2,即n4k23+4k2,-3k3+4k2,因为|tp=tq|,所以直线tn为线段pq的垂直平分线,所以tnpq,则ktnkpq=-1,即-3k4k2+3-t4k24k2+3k=-1,所以t=k4k2+3=14k+3k,当k0时,因为4k+3k43(当且仅当k=32时取等号),所以t0,312,当kb0)的右焦点与抛物线e:y2=2px(p0)的焦点f重合,且点f到e的准线的距离为2. (1)求椭圆c的方程.(2)若直线l与c交于m,n两点,与e交于a,b两点,且oaob=-4(o为坐标原点),求mnf面积的最大值.【解析】(1)因为点f到e的准线的距离为2,所以p=2,f(1,0),由c=1,ca=12,a2=b2+c2, 解得a=2,b=3, 所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知抛物线e的方程为y2=4x. 要使直线l与抛物线e交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,由x=my+n,y2=4x, 得y2-4my-4n=0 所以=(-4m)2+16n0,得m2+n0.设ax1,y1,bx2,y2 则y1+y2=4m,y1y2=-4n, 所以x1x2=y124y224=(y1y2)216=16n216=n2,因为oaob=-4,所以x1x2+y1y2=-4,所以n2-4n=-4,所以n=2, 所以直线l的方程为x=my+2,所以直线l过椭圆c的右顶点(2,0),不妨设m(2,0),n(x3,y3),-3y3
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