2021版高考数学一轮复习 第十章 平面解析几何 10.5 椭圆练习 理 北师大版

10.5 椭圆核心考点精准研析考点一椭圆的定义及标准方程1.若方程x25-m+y2m+3=1表示椭圆,则m的取值范围是()a.(-3,5)b.(-5,3)c.(-3,1)(1,5)d.(-5,1)(1,3)2.已知abc的顶点b,c在椭圆x23+y2=1上,顶点a是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在bc边上,则abc的周长是()a.23b.6c.43d.123.椭圆x25+y24=1的左焦点为f,直线x=t与椭圆相交于点m,n,当fmn的周长最大时,fmn的面积是()a.55b.655c.855d.4554.过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为()a.x220+y24=1b.x225+y24=1c.y220+x24=1d.x24+y225=15.已知椭圆c的中心在原点,一个焦点f(-2,0),且长轴长与短轴长的比是23,则椭圆c的方程是_.【解析】1.选c.由方程表示椭圆知5-m0,m+30,5-mm+3,解得-3m5且m1.2.选c.如图,设椭圆x23+y2=1的另一个焦点为f2,则f2在bc上,即|bc|=|bf2|+|f2c|,又因为b,c都在椭圆x23+y2=1上,所以|ba|+|bf2|=|ca|+|cf2|=2a=23,于是,abc的周长为|ba|+|bc|+|ca|=|ba|+|bf2|+|f2c|+|ca|=43.3.选c.如图,设右焦点为f,连接mf,nf,fmn的周长为|fm|+|fn|+|mn|=45-(|mf|+|nf|-|mn|),所以当|mf|+|nf|-|mn|最小时,周长最大,因为|mf|+|nf|mn|,所以当直线x=t过右焦点时,fmn的周长最大.又c=5-4=1,所以把x=1代入椭圆标准方程,得15+y24=1,解得y=455,所以此时fmn的面积s=2122455=855.4.选c.(方法一:定义法)椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25,由c2=a2-b2,可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(kb0).由题意得5a2+3b2=1,a2-b2=16,解得a2=20,b2=4,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.5.设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意知a2=b2+c2,ab=23,c=2,解得a2=16,b2=12,所以椭圆c的方程为x216+y212=1.答案:x216+y212=11.椭圆定义的应用(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.(2)椭圆的定义式必须满足2a|f1f2|.2.焦点三角形的结论椭圆上的点p(x0,y0)与两焦点f1,f2构成的pf1f2叫做焦点三角形.如图所示,设f1pf2=.(1)4c2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos .(2)焦点三角形的周长为2(a+c).(3)spf1f2=12|pf1|pf2|sin =b2 tan2=c|y0|,当|y0|=b,即p为短轴端点时,spf1f2取得最大值,为bc.3.求椭圆的标准方程的方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a|f1f2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤考点二弦及弦中点问题【典例】1.已知椭圆x23+y2=1,过点p12,12且被p点平分的弦所在直线的方程为_.2.焦点是f(0,52),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为_.【解题导思】序号联想解题1一看到弦的中点(即中点弦)问题,即联想到点差法2当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想到点差法(也可考虑联立方程)【解析】1.设弦的两端点为a(x1,y1),b(x2,y2),中点为(x0,y0),则有x123+y12=1,x223+y22=1,两式作差得(x2-x1)(x2+x1)3+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,y2-y1x2-x1=kab,代入后求得kab=-x03y0=-13,所以弦所在直线的方程为y-12=-13x-12,即x+3y-2=0.答案:x+3y-2=02.设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),直线被椭圆所截弦的端点为a(x1,y1),b(x2,y2).由题意,可得弦ab的中点坐标为x1+x22,y1+y22,且x1+x22=27,y1+y22=-37.将a,b两点坐标代入椭圆方程中,得y12a2+x12b2=1,y22a2+x22b2=1.两式相减并化简,得a2b2=-y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-2-6747=3,所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为y275+x225=1.答案:y275+x225=11.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略常见类型解决策略过定点,定点为弦中点;平行弦中点的轨迹;过定点的弦的中点轨迹根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆c:x24+y2=1交于不同的两点a,b,ab中点横坐标为12,则k=_.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),由y=k(x-1),x24+y2=1,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以0,x1+x2=8k21+4k2,所以x1+x22=4k24k2+1=12,整理得k2=14,所以k=12.答案:122.已知直线y=x+m被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为16,则中点的纵坐标为_.【解析】设线段的两端点分别为a(x1,y1),b(x2,y2),中点为m(x0,y0),则x0=16,y0=16+m,x1+x2=2x0=13,y1+y2=2y0=13+2m,则有2x12+y12=2,2x22+y22=2,两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k=y1-y2x1-x2=-2(x1+x2)y1+y2=-21313+2m=1,解得m=-12,所以y0=16+-12=-13.答案:-13考点三椭圆的简单几何性质命题精解读1.考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等思想方法.2.怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.3.新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解.2.与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.求椭圆的离心率【典例】(2020泉州模拟)设f1,f2分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点p在椭圆c上,若线段pf1的中点在y轴上,pf1f2=30,则椭圆的离心率为)a.33b.36c.13d.16【解析】选a.如图,设pf1的中点为m,连接pf2.因为o为f1f2的中点,所以om为pf1f2的中位线,所以ompf2,所以pf2f1=mof1=90,因为pf1f2=30,所以|pf1|=2|pf2|,由勾股定理得|f1f2|=|pf1|2-|pf2|2,由椭圆定义得2a=|pf1|+ |pf2|=3|pf2|,即a=3|pf2|2,2c=|f1f2|=3|pf2|,即c=3|pf2|2,则e=ca= 3|pf2|223|pf2|=33.最值、取值范围问题【典例】(2019重庆模拟)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为m(-2,0),离心率为22. (1)求椭圆c的方程.(2)过点n(1,0)的直线l交椭圆c于a,b两点,当取得最大值时,求mab的面积.【解析】(1)由题意可得:a=2,ca=22,得c=2,则b2=a2-c2=2.所以椭圆c:x24+y22=1.(2)当直线l与x轴重合时,不妨取a(-2,0),b(2,0),此时=0;当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,a(x1,y1),b(x2,y2),联立x=ty+1,x24+y22=1,得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然0,y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-3t2+2.所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)-3t2+2+3t-2tt2+2+9=-3t2-3-6t2t2+2+9=-9t2-3t2+2+9=15t2+2.当t=0时,取最大值152.此时直线l方程为x=1,不妨取a1,62,b1,-62,所以|ab|=6.又|mn|=3,所以mab的面积s=1263=362.1.(2020西安模拟)我国自主研制的月球探测器“嫦娥四号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥四号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球的半径为r,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r2,5r2(如图所示),则“嫦娥四号”卫星轨道的离心率为()a.25b.15c.23d.13【解析】选a.根据题意知,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r2,5r2.设椭圆的长半轴长、半焦距分别为a,c,则a=r2+5r2+2r2=5r2,c=of1=r,则e=ca=r5r2=25. 2.(2020烟台模拟)已知f(2,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,过f且垂直于x轴的弦长为6,若a(-2,2),点m为椭圆上任一点,则|mf|+|ma|的最大值为_.【解析】设椭圆的左焦点为f,由椭圆的右焦点为f(2,0),得c=2,又过f且垂直于x轴的弦长为6,即2b2a=6,则a2-c2a=a2-4a=3,解得a=4,所以|mf|+|ma|=8-|mf|+|ma|=8+|ma|-|mf|,当m,a,f三点共线时,|ma|-|mf|取得最大值,(|ma|-|mf|)max=|af|=2,所以|mf|+|ma|的最大值为8+2.答案:8+2已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2,p是椭圆上一点,pf1f2是以f2p为底边的等腰三角形,且60pf1f212