2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十八 抛物线 理 北师大版

核心素养测评五十八 抛物线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020汉中模拟)动点p到点a(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点p的轨迹方程为()a.y2=4x b.y2=8xc.x2=4yd.x2=8y【解析】选d.因为动点p到点a(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点p到点a(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点p的轨迹为以a(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.2.已知抛物线y2=2px(p0)上一点m到焦点f的距离等于2p,则直线mf的斜率为()a.33b.34c.1d.3【解析】选d.抛物线的焦点为fp2,0,准线方程为x=-p2.因为点m到焦点f的距离等于2p,所以点m到准线x=-p2的距离等于2p,xm=32p,代入抛物线方程解得ym=3p,所以kmf=ymxm-p2=3.3.(2020聊城模拟)已知抛物线c:y2=4x的焦点f和准线l,过点f的直线交l于点a,与抛物线的一个交点为b,且=3,则|ab|=()a.23b.43c.83d.163【解析】选c.由抛物线方程y2=4x,知焦点f(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为k,过b作bml,交l于m,则易知bmkf,所以abmafk,设|bf|=m,由=3,可知|ab|=2m,所以|kf|=12|af|=32m,又由方程知|kf|=2,所以32m=2,即m=43,所以|ab|=2m=83.4.(2020上饶模拟)已知点f是抛物线x2=4y的焦点,点p为抛物线上的任意一点,m(1,2)为平面上一点,则|pm|+|pf|的最小值为()a.3b.2c.4d.23【解析】选a.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点f(0,1),准线方程y=-1,过p作pa垂直于准线,垂足为a,过m作ma0垂直于准线,垂足为a0,交抛物线于p0,则|pm|+|pf|=|pa|+|pm|a0m|=3(当且仅当p与p0重合时取等号).5.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于m,n两点,若mn中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()a.x2=32y b.x2=6y c.x2=-3y d.x2=3y【解析】选d.设点m(x1,y1),n(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,所以所求的抛物线方程是x2=3y.6.已知点m是抛物线c:y2=2px(p0)上一点,f为c的焦点,mf的中点坐标是(2,2),则p的值为()a.1b.2c.3d.4【解析】选d.fp2,0,那么m4-p2,4在抛物线上,即16=2p4-p2,即p2-8p+16=0,解得p=4.7.在直角坐标系xoy中,抛物线c:y2=4x的焦点为f,准线为l,p为c上一点,pq垂直l于点q,m,n分别为pq,pf的中点,直线mn与x轴交于点r,若nfr=60,则|nr|=()a.2b.3c.23d.3【解析】选a.根据题意,如图所示:连接mf,qf,抛物线的方程为y2=4x,其焦点为f(1,0),准线为x=-1,则|fh|=2,由抛物线定义可得|pf|=|pq|,由pql,得:pqfr,所以qpf=nfr,又nfr=60,所以qpf=60,所以pqf为等边三角形,由m,n分别为pq,pf的中点,得|mn|=12|qf|,mnqf,且mfpq,又qhpq,qmhf,故四边形hfmq为矩形,故|qm|=|hf|=2,又在rtqmf中,|qf|=|qm|cosmqf=2cos60=4,故|mn|=12|qf|=2,又pqrf,|pn|=|nf|,所以|nr|=|mn|=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知点p(-3,3),过点m(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于a,b两点,设直线pa,pb的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=_.【解析】设过点m的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设ay124,y1,by224,y2,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=y1-3y124+3+y2-3y224+3=4y1-1212+y12+4y2-1212+y22=4y1-1212+y12+-48y1-1212+144y12=4y1-1212+y12+-4y1-y1212+y12=-1.答案:-19.已知抛物线x2=4y焦点为f,经过f的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,点a,b在抛物线准线上的射影分别为a1,b1,以下四个结论:x1x2=-4,|ab|=y1+y2+1,a1fb1=2,ab的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是_.【解析】抛物线x2=4y焦点为f(0,1),易知直线ab的斜率存在,设直线ab的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,正确;|ab|=|af|+|bf|=y1+1+y2+1 =y1+y2+2,不正确;=(x1,-2),=(x2,-2), 所以=x1x2+4=0,所以 ,a1fb1=2,正确;ab的中点到抛物线的准线的距离d=12(|aa1|+|bb1|)=12(y1+y2+2) =12(kx1+1+kx2+1+2) =12(4k2+4)2 .当k=0时取得最小值2,正确.答案:10.(2020保定模拟)已知抛物线y2=2px(p0)经过点m(1,2),直线l与抛物线交于相异两点a,b,若mab的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为_.【解析】将点m(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由mab的内切圆圆心为(1,t),可得kma+kmb=y1-2x1-1+y2-2x2-1=y1-2y124-1+y2-2y224-1=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.答案:-1(15分钟35分)1.(5分)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点,若fp=4fq,则|qf|等于()a.72b.3c.52d.2【解析】选b.设q到l的距离为d,则|qf|=d,因为fp=4fq,所以|pq|=3d,不妨设直线pf的斜率为-22dd=-22,因为f(2,0),所以直线pf的方程为y=-22(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|qf|=d=1+2=3.2.(5分)抛物线y=14x2上一点m到x轴的距离为d1,到直线x3-y4=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为()a.85b.135c.3d.2【解析】选d.因为点m到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于m到抛物线x2=4y的焦点的距离|mf|,则d1+d2+1的最小值即为焦点f到直线x3-y4=1的距离.由题意知f(0,1),所以(d1+d2)min=155-1=2.【变式备选】已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点,若fp=2qf,则|qf|=()a.8b.4c.6d.3【解析】选d.设q到l的距离为d,则|qf|=d,因为fp=2qf,所以|pq|=3d,所以直线pf的斜率为22,因为f(1,0),所以直线pf的方程为y=22(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|qf|=d=1+2=3.3.(5分)(2019葫芦岛模拟)已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点f分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线c交于a,b两点,直线l2与抛物线c交于m,n点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|ab|+|mn|的最小值为()a.14b.16c.18d.20【解析】选b.可得f(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x3,y3),n(x4,y4),所以|ab|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4+4k2,因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-1k,同理可得|mn|=x3+x4+p=2-1k2+4-1k2+2=4+4k2,所以|ab|+|mn|=4+4k2+4+4k2=8+4k2+4k28+24k24k2=16.当且仅当k=1时取等号.4.(10分)如图,已知抛物线c1:y=14x2,圆c2:x2+(y-1)2=1,过点p(t,0)(t0)作不过原点o的直线pa,pb分别与抛物线c1和圆c2相切,a,b为切点.(1)求点a,b的坐标.(2)求pab的面积.【解析】 (1)由题意知直线pa的斜率存在,故可设直线pa的方程为y=k(x-t).由y=k(x-t),y=14x2,消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线pa与抛物线相切,得k=t.因此,点a的坐标为(2t,t2).由题意知圆c2的圆心为d(0,1),点b的坐标为(x0,y0).由题意知:点b,o关于直线pd对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2,因此,点b的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|ap|=t1+t2,直线pa的方程为tx-y-t2=0.点b到直线pa的距离是d=t21+t2.设pab的面积为s(t),则s(t)=12|ap|d=t32.5.(10分)(2019保定模拟)已知抛物线e:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线e相切,求直线l的方程.(2)设q(4,0),k0,直线l与抛物线e交于不同的两点a(x1,y1),b(x2,y2),若存在点c,使得四边形oacb为平行四边形(o为原点),且acqc,求x2的取值范围.【解析】(1)根据题意,抛物线e:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得y=kx-4,y2=8x, 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线e相切,则k0且=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-12,所以,所求的直线方程为y=-12x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有y=kx-4,y2=8x,可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k0,所以=64(k+1)2-64k20,则有x1+x2=8(k+1)k2,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=8k,因为四边形oacb为平行