2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.5 定积分与微积分基本定理练习 理 北师大版

3.5 定积分与微积分基本定理核心考点精准研析考点一定积分的计算1.-22 |x2-2x|dx=()a.5b.6c.7d.82.-22 (sin x+4-x2)dx等于()a.2b.+2cos 2c.2+2cos 2d.23.若s1=12 x2dx,s2=12 1xdx,s3=12 exdx,则s1,s2,s3的大小关系为()a.s1s2s3b.s2s1s3c.s2s3s1d.s3s21),则a的值是_.【解析】1.选d.-22 |x2-2x|dx=-20 (x2-2x)dx+022x-x2)dx=x33-x2-20+x2-x3302=83+4+4-83=8.2.选d.因为-22 (sin x+4-x2)dx=-22 sin xdx+-224-x2dx,因为y=sin x为奇函数,所以-22sinxdx=0.又-22 4-x2dx表示半圆x2+y2=4(y0)的面积.所以-22 4-x2dx=1222=2,所以-22 (sin x+4-x2)dx=2.3.选b.s1=12 x2dx=13x312=73,s2=12 1xdx=ln x12=ln 2e73,所以s2s1s3.4.1a 2x+1xdx=1a 2xdx+1a 1xdx=x21a+ln x1a=a2-1+ln a=3+ln 2,所以a2-1=3,lna=ln2,解得a=2.答案:2题3中,若将“s1=12 x2dx,s2=12 1xdx,s3=12 exdx,”改为“s1=02 x2dx,s2=02 x 3dx,s3=02sinxdx”,试判断s1,s2,s3的大小关系.【解析】由微积分基本定理得s1=02 x2dx=13x302=83,s2=02 x3dx=14x402=4,s3=02 sin xdx=(-cos x)02=1-cos 22,则s3 s1 s2.1.运用微积分基本定理求定积分时的注意点(1)被积函数要先化简,再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分.(4)注意用“f(x)=f(x)”检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分.3.函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则有(1)若f(x)为偶函数,则-aa f(x)dx=20a f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数,则-aa f(x)dx=0.【秒杀绝招】图像法解t3,如图,根据定积分的几何意义知,s1,s2,s3分别是函数y=x2,y=1x,y=ex与x=1,x=2及x轴所围成的面积,显然s2s1s3.考点二应用定积分求平面图形的面积【典例】1.(2019厦门模拟)二次函数f(x)=x2-nx+m(n,mr)的图像如图所示,则定积分01 f(x)dx=()a.23b.56c.2d.32.(2019武汉模拟)过坐标原点o作曲线c:y=ex的切线l,则曲线c,直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为()a.e2-1b.e-1c.e-2d.e23.由曲线y=x,y=2-x,y=-13x所围成图形的面积为_.【解题导思】序号联想解题1由函数图像想到求n,m,进而求定积分2由曲线c的切线想到导数的几何意义,借助图形形状设置被积函数3由曲线y=x,y=2-x,y=-13x想到画图求解【解析】1.选b.由图像可知,n=3,m=2.01 f(x)dx=01 (x2-3x+2)dx=13x3-32x2+2x01=13-32+2-0=56.2.选a.根据题意,过坐标原点o作曲线c:y=ex的切线l,设切点为(m,em),y=ex,其导数y=ex,则切线的斜率k=em,则直线l的方程为:y-em=em(x-m),又由直线l经过原点,则有-em=em(-m),所以em(1-m)=0,所以m=1,则直线l的方程为y-e=e(x-1),即y=ex,切点为(1,e);曲线c、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积s=01ex-ex)dx=ex-ex2201=e-e2-(1-0)=e2-1.3.方法一:画出草图,如图所示.解方程组y=x,x+y=2,y=x,y=-13x及x+y=2,y=-13x,得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),所以所求图形的面积s=01 x-13xdx+13 (2-x)-13xdx=01 x+13xdx+13 2-23xdx=23x32+16x201+2x-13x213=56+6-139-2+13=136.答案:136方法二:如图所求阴影的面积就是三角形oab的面积减去由y轴,y=x,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即s=1223-01 (2-x-x)dx=3-2x-12x2-23x3201=3-2-12-23=136.答案:136利用定积分求平面图形面积的四个步骤曲线y=4x与直线y=5-x围成的平面图形的面积为()a.152b.154c.154-4ln 2d.152-8ln 2【解析】选d.作出曲线y=4x与直线y=5-x围成的平面图形如图:由y=4xy=5-x,解得x=1或x=4,所以曲线y=4x与直线y=5-x围成的平面图形的面积为s=14 5-x-4xdx=5x-12x2-4lnx14=(20-8-4ln 4)-5-12=152-8ln 2.考点三定积分在物理中的应用【典例】1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()a.1+25ln 5b.8+25ln113c.4+25ln 5d.4+50ln 22.设变力 f(x)作用在质点m上,使m沿x轴正向从x=1运动到 x=10,已知 f(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力f(x)对质点m所做的功为_j(x 的单位:m;力的单位:n).【解题导思】序号联想解题1由汽车继续行驶的距离想到积分变量为时间,被积函数为速度2由变力f(x)对质点 m 所做的功想到积分变量为位移,被积函数为力【解析】1.选c.令v(t)=0得,3t2-4t-32=0,解得t=4t=-83舍去.汽车的刹车距离是04 7-3t+251+tdt=7t-32t2+25ln(t+1)04=4+25ln 5.2.变力f(x)=x2+1 使质点m沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为:w=110 f(x)dx=110 (x2+1)dx=13x3+x110=342(j).答案:342定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ab v(t)dt.(2)变力做功,一物体在变力f(x)的作用下,沿着与f(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力f(x)所做的功是w=ab f(x)dx.某人吃完饭后散步,在0到3小时内速度与时间的关系为v=t3-3t2+2t(km/h),这3小时内他走过的路程为()a.94kmb.104k