2021版高考数学一轮复习 核心素养测评十一 函数与方程 理 北师大版

核心素养测评十一 函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 ()a.(1,3)b.(1,2)c.(0,3)d.(0,2)【解析】选c.因为f(x)在(0,+)上是增函数,则由题意得f(1)f(2)=(0-a)(3-a)0,解得0a3.2.已知函数f(x)=15x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0x1,则f(x1)的值()a.恒为负b.等于零c.恒为正d.不大于零【解析】选a.由于函数f(x)=15x-log3x在定义域内是减函数,于是,若f(x0)=0,当x0x1时,一定有f(x1)0,gx=fx+x+a,若gx存在2个零点,则a的取值范围是()a.-1,0b.0,+c.-1,+d.1,+【解析】选c.因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图像如下:要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a1即a-1.4.(2020福州模拟)已知f(x)=2x+1,x0,|lnx|,x0,则方程f(f(x)=3的根的个数是()a.6b.5c.4d.3【解析】选b.令f(x)=t,则方程f(f(x)=3即为f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函数f(x)的图像(图略),由图像可知方程f(x)=e-3有3个解,f(x)=e3有2个解,则方程f(f(x)=3有5个实根.5.已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若f(x)=2 020-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是 ()a.acbdb.abcdc.cdabd.cabd【解析】选d.f(x)=2 020-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 020,又f(a)=f(b)=2 020,c,d为函数f(x)的零点,且ab,cd,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图可知cabd.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018全国卷)函数f(x)=cos 3x+6在0,上的零点个数为_.【解析】令f(x)=cos3x+6=0,得3x+6=2+k(kz),即x=9+13k,当k=0时,x=90,当k=1时,x=490,当k=2时,x=790,所以f(x)=cos3x+6在0,上零点的个数为3.答案:37.已知函数f(x)=log2(x+1),x0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是_.【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图像,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线的顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).答案:(0,1)8.设函数y=x3与y=12x-2的图像的交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nn,则x0所在的区间是_.【解析】设f(x)=x3-12x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=12x-2的图像如图所示.因为f(1)=1-12-1=-10,所以f(1)f(2)0).(1)作出函数f(x)的图像.(2)当0ab,且f(a)=f(b)时,求1a+1b的值.(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.【解析】(1)如图所示.(2)因为f(x)=1-1x=1x-1,x(0,1,1-1x,x(1,+),故f(x)在(0,1上是减函数,而在(1,+)上是增函数.由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,且1a-1=1-1b,所以1a+1b=2.(3)由函数f(x)的图像可知,当0m0,f(0)0,即3-4a0,1-2a0,解得12a0.若函数y=f(f(x)有10个零点,则实数a的取值范围是_.【解析】当x0时,令f(x)=0,得|x-2|=1,即x=1或x=3.因为f(x)是偶函数,则f(x)的零点为x=1和x=3,作出函数y=f(x)的大致图像如图所示.令f(f(x)=0,则f(x)=1或f(x)=3.因为函数y=f(f(x)有10个零点,则函数y=f(x)的图像与直线y=1和y=3共有10个交点.由图可知,1a0,x+1,x0.(1)求g(f(1)的值.(2)若方程g(f(x)-a=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围.【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图像如图,由图像可知,当1a54时,函数y=g(t)(t0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数f(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.【解析】(1)因为g(x)=x+e2x2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域为2e,+),因而只需m2e,则g(x)=m就有零点,即m的取值范围为2e,+).(2)函数f(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,作出g(x)=x+e2x(x0)的图像.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).1.(2019济南模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+4,若方程f(x)=kx+4(k0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=_.【解析】f(x)=kx+4(k0),即ex-e-x=kx,所以y1=ex-e-x与y2=kx有三个不同的交点,且都是奇函数.因此x1+x2+x3=0.答案:02.(2020嘉兴模拟)已知函数f(x)=|x-2k|,x2k-1,2k+1(kz),则函数g(x)=f(x)-lg x的零点个数是 ()a.5b.7c.9d.11【解析】选c.函数g(x)=f(x)-lg x的零点转化为y=lg x与y=f(x)的交点,给k赋值,作出函数y=f(x)及y=lg x的图像,从图像上看,共有9个交点,所以函数g(x)的零点共有9个,故选c.【变式备选】函数f(x)的定义域为实数集r,且f(x)=12x-1,-1x0,log2(x+1),0x3,对任意的xr都有f(x+2)=f(x-2).若在区间-5,3上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.【解析】因为对任意的xr都有f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)