2021版高考数学一轮复习 核心素养测评二十九 平面向量的数量积及平面向量的应用 理 北师大版

核心素养测评二十九 平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,则x=()a.-1b.-12c.12d.1【解析】选d.ab=12+(-1)x=2-x=1,所以x=1.2.(2020十堰模拟)若夹角为的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()a.-2cos b.2cos c.-cos d.cos 【解析】选b.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2ab+b2,a2=2ab,|a|2=2|a|b|cos ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos =2cos .3.(2020铜川模拟)已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量a+b与b垂直,则实数的值为()a.413b.-413c.54d.-54【解析】选d.因为a=(-2,3),b=(1,2),所以a+b=(-2+1,3+2).因为a+b与b垂直,所以(a+b)b=0,所以(-2+1,3+2)(1,2)=0,即-2+1+6+4=0,解得=-54.4.(2019广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()a.4b.2c.2d.1【解析】选d.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4ab+4b2=4,4-42|b|cos 60+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab为()a.12b.8c.-8d.2【解析】选a.因为|a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020太原模拟)如图所示,在等腰直角三角形aob中,oa=ob=1,=4,则(-)=_.【解析】由已知得|=2,|=24,则(-)=(+)=+=2cos34+242=-12.答案:-127.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m(m+n),则向量m与n的夹角为_.【解析】设m,n的夹角为,因为m(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+12cos =0,所以cos =-12,又0,所以=23.答案:23【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为.由已知a2-2b2+ab=-2,4-8+4cos =-2,cos =12,又0,所以=3,即a与b的夹角为3.答案:38.已知正方形abcd的边长为2,e为cd的中点,则=_.【解析】在边长为2的正方形abcd中,=0,因为=(+)(+)=(-)=+12-12=4+0-0-124=2.答案:2【变式备选】已知正方形abcd的边长为1,点e是ab边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【解析】以射线ab,ad为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a(0,0),b(1,0),c(1,1),d(0,1),设e(t,0),t0,1,则=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,的最大值为1.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020西安模拟) 设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|2a-b|=5.(1)求|2a-3b|的值;(2)求向量3a-b与a-2b的夹角.【解析】(1)因为|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4-4ab+1=5,所以ab=0,所以|2a-3b|=4a2-12ab+9b2=4+9=13.(2)cos =(3a-b)(a-2b)|3a-b|a-2b|=3a2+2b29a2+b2a2+4b2=5105=22,因为0,所以=4.10.在平面直角坐标系xoy中,点a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1).(1)求以线段ab,ac为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=210,|-|=42.所以所求的两条对角线的长分别为42,210.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-115.(15分钟35分)1.(5分)(2020潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为32+1,则向量a与b的夹角为()a.6b.4c.3d.2【解析】选a.设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为32+1,所以(a+b)a=|a|32+1,变形得1+ab=32+1,即ab=11cos =cos =32,又由0,则=6,故选a.2.(5分)(2020大同模拟) 已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是()a.-2,2323,+b.12,+c.(-,-2)-2,12d.-,12【解析】选c.不妨令i=(1,0),j=(0,1),则a=(1,-2),b=(1,),因为它们的夹角为锐角,所以ab=1-20且a,b不共线,所以0,xr.若函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值.(2)在abc中,若f(b)=-2,bc=3,sin b=3sin a,求的值.【解析】(1)f(x)=mn=23sin xcos x+cos2x-sin2x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.因为f(x)的最小正周期为,所以t=22|=,又0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+6.设abc中角a,b,c所对边分别是a,b,c.因为f(b)=-2,所以2sin2b+6=-2,即sin2b+6=-1,又0b,解得b=23.因为bc=3,即a=3,又sin b=3sin a,所以b=3a,b=3.由正弦定理得,3sina=3sin 23,解得sin a=12.又0a3,解得a=6,所以c=6,c=a=3,所以=cacos b=33cos 23=-32.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点a(1,0)和点b(-1,0),|=1,且aoc=x,其中o为坐标原点. (1)若x=34,设点d为线段oa上的动点,求|+|的最小值.(2)若x0,2,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设d(t,0)(0t1),当x=34时,可得c-22,22,所以+=-22+t,22,所以|+|2=t-222+12(0t1),所以当t=22时,|+|2取得最小值为12,故|+|的最小值为22.(2)由题意得c(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-2sin2x+4.因为x0,2,所以42x+454.所以当2x+4=2,即x=8时,mn=1-2sin2x+4取得最小值1-2,所以mn的最小值为1-2,此时x=8.1.已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取最小值,当0t014时,cos 的取值范围为 ()a.-12,0b.-12,-14c.14,1d.-12,14【解析】选d.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:a(2,0),b(cos ,sin ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),则:|=|-|=(1-t)cos-2t2+(1-t)sin2,整理可得:|=(5+4cos)t2-(2+4cos)t+1,满足题意时:t0=-(2+4cos)2(5+4cos)=12-32(4cos+5),据此可得三角不等式:012-32(4cos+5)14,解得:-12cos 14,即cos 的取值范围是-12,14.2.已知圆o的半径为1,a,b是圆上的两点,且aob=3,mn是圆o的任意一条直径,若点c满足12=+(1-)