




免费预览已结束,剩余9页可下载查看
下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
3.3导数与函数的极值、最值最新考纲考情考向分析1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2.会利用导数解决实际问题(生活中的优化问题).考查函数的极值、最值,常与方程、不等式相结合命题,强化应用意识题型为解答题,难度较大.1函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值概念方法微思考1对于可导函数f(x),“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2函数的最大值一定是函数的极大值吗?提醒不一定,函数的最值可能在极值点或端点处取到题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)函数的极小值一定是函数的最小值()(3)开区间上的单调连续函数无最值()题组二教材改编2函数f(x)2xxlnx的极值是()a.b.cede2答案c解析因为f(x)2(lnx1)1lnx,当f(x)0时,解得0xe;当f(x)e,所以xe时,f(x)取到极大值,f(x)极大值f(e)e.故选c.3当x0时,lnx,x,ex的大小关系是_答案lnxxex解析构造函数f(x)ln xx,则f(x)1,可得x1为函数f(x)在(0,)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f(x)f(1)10,所以ln xx.同理可得xex,故ln xxex.4现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是_答案a3解析容积v(a2x)2x,0x,则v2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)(a6x),由v0得x或x(舍去),则x为v在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时vmaxa3.题组三易错自纠5若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4,m_.答案4解析f(x)x24,x0,3,当x0,2)时,f(x)0,所以f(x)在0,2)上是减函数,在(2,3上是增函数又f(0)m,f(3)3m.所以在0,3上,f(x)maxf(0)4,所以m4.6已知函数f(x)x3x22ax1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x1,则f(x)在(1,2)上是单调递增函数,因此解得a4,故实数a的取值范围为.用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在r上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()a函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)c函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)d函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案d解析由题图可知,当x0;当2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值,在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)x212alnx(a0),求函数f(x)的极值解因为f(x)x212aln x(x0),所以f(x)2x.当a0,且x2a0,所以f(x)0对x0恒成立所以f(x)在(0,)上单调递增,f(x)无极值当a0时,令f(x)0,解得x1,x2(舍去)所以当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)极小值所以当x时,f(x)取得极小值,且f()()212aln a1aln a无极大值综上,当a0时,函数f(x)在x处取得极小值a1aln a,无极大值命题点3已知极值点求参数例3(1)(2020江西八校联考)若函数f(x)x2xalnx在(1,)上有极值点,则实数a的取值范围为_(2)若函数f(x)的导数f(x)(xk)k,k1,kz,已知xk是函数f(x)的极大值点,则k_.答案(1)(,1)(2)1解析(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)2x1,由题意知2x2xa0在r上有两个不同的实数解,且在(1,)上有解,所以18a0,且2121a0,所以a(,1)(2)因为函数的导数为f(x)(xk)k,k1,kz,所以若k是偶数,则xk不是极值点,则k是奇数,若k0,解得x或xk;由f(x)0,解得kx,由f(x)0,解得xk或x;由f(x)0,解得x0,当x(1,a)时,f(x)0,所以函数f(x)在xa处取得极小值;若1a0,当x(a,)时,f(x)0,所以函数f(x)在xa处取得极大值;若a1,当x(,a)时,f(x)0,所以函数f(x)在xa处取得极小值综上所述,a(1,0)(2)已知函数f(x)ax1lnx(ar)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数解f(x)的定义域为(0,)f(x)a,当a0时,f(x)0时,由f(x)0得0x0,得x,f(x)在上单调递减,在上单调递增,即f(x)在x处有极小值,无极大值综上,当a0时,f(x)在(0,)上没有极值点,当a0时,f(x)在(0,)上有一个极值点用导数求函数的最值例4已知函数f(x)klnx,k,求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0,则在上恒有f(x)0,所以f(x)在上单调递减若0k,则f(x),由ke,则x0在上恒成立,所以0在上恒成立,所以f(x)在上单调递减综上,当k时,f(x)在上单调递减,所以f(x)minf(e)k1,f(x)maxfek1.若本例条件中的“k”改为“k”,则函数f(x)在上的最小值是多少?解f(x),k,0e,若0,即ke时,f(x)0在上恒成立,f(x)在上为增函数,f(x)minfek1.若e,即ke时,f(x)在上为减函数,在上为增函数,f(x)minfk1kln k.当k时,f(x)在上为减函数,无最小值综上,当ke时,f(x)mink1kln k,当ke时,f(x)minek1,当k时,f(x)在上无最小值思维升华(1)若函数f(x)在闭区间a,b上单调递增或单调递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值(2)若函数f(x)在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极大(或极小)值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪训练2(2020福州检测)已知函数g(x)alnxx2(a2)x(ar),求g(x)在区间1,e上的最小值h(a)解g(x)的定义域为(0,),g(x)2x(a2).当1,即a2时,g(x)在1,e上为增函数,h(a)g(1)a1;当1e,即2a2e时,g(x)在上为减函数,在上为增函数,h(a)galn a2a;当e,即a2e时,g(x)在1,e上为减函数,h(a)g(e)(1e)ae22e.综上,h(a)1.函数f(x)的定义域为r,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()a无极大值点、有四个极小值点b有三个极大值点、一个极小值点c有两个极大值点、两个极小值点d有四个极大值点、无极小值点答案c解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1,x2,x3,x4.当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)0.当x2时,f(x)0,f(x)为增函数;当0x2时,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(2,2)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以a2.4(2019苏锡常镇调研)f(x)exx在区间1,1上的最大值是()a1b1ce1de1答案d解析f(x)ex1,令f(x)0,得x0,令f(x)0,得x0,令f(x)0,得x0,则函数f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,f(1)e11,f(1)e1,f(1)f(1)2e2ef(1)故选d.5若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值,则()a0b1bb0db答案a解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f(x)3x23b在(0,1)上先负后正,f(0)3b0.b0且b1.综上,b的取值范围为0b1.6若函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立,则实数a的取值范围为()a2,) b4,)c4d2,4答案c解析f(x)3ax23,当a0时,对于x1,1总有f(x)0,则f(x)在1,1上为减函数,f(x)minf(1)a20,不合题意;当0a1时,f(x)3ax233a,f(x)在1,1上为减函数,f(x)minf(1)a21时,f(x)在和上为增函数,在上为减函数,所以有f(1)a40,且f10,解得a4.综上所述,a4.7(2020信阳调研)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10,则f(2)的值为_答案18解析f(x)3x22axb,由题意得即解得或经验证a4,b11符合题意,此时f(x)x34x211x16,f(2)18.8函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0得xa,当axa时,f(x)a或x0,函数f(x)在这两个区间内单调递增,f(x)的极大值为f(a),极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m1,1,则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax,由f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即342a20,故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x,由此可得f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.10函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是_答案20解析因为f(x)3x233(x1)(x1),令f(x)0,得x1,可知1,1为函数的极值点又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1,所以在区间3,2上,f(x)max1,f(x)min19.由题设知在区间3,2上,f(x)maxf(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.11设函数f(x)alnxbx2,若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx,x0,函数f(x)在x1处与直线y相切,解得(2)由(1)知,f(x)lnxx2,x0,f(x)x,当xe时,令f(x)0,得x1,令f(x)0,得10,由f(x)0,得x.所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增所以x是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1),则g(x)ln x1a,由g(x)0,得xea1.所以在区间(0,ea1)上,g(x)为减函数,在区间(ea1,)上,g(x)为增函数当ea11,即a1时,在区间1,e上,g(x)为增函数,所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e,即1a2时,g(x)在区间1,ea1上为减函数,在区间ea1,e上为增函数,所以g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e,即a2时,在区间1,e上,g(x)为减函数,所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上,当a1时,g(x)的最小值为0;当1a0,h(y)2y,当0y时,h(y)时,h(y)0,即函数h(y)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以h(y)minh2ln2.14当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_答案6,2解析当x0时,ax3x24x30,变为30恒成立,即ar,当x(0,1时,ax3x24x3,a,amax.设(x).(x),当x(0,1时,(x)0,(x)在(0,1上单调递增,(x)max(1)6.a6.当x2,0)时,a,amin.同理可求得x2,0)时,min(1)2,a2,综上可得,6a2.15已知函数f(x)xlnxmex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数m的取值范围是_答案解析f(x)xln xmex(x0),f(x)ln x1mex(x0),令f(x)0,得m,设g(x),g(x)(x0),令h(x)ln x1,则h(x)0),h(x)在(0,)上单调递减且h(1)0,当x(0,1时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(0,1上单调递增,当x(1,)时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(1,)上单调递减,故g(x)maxg(1),而当x0时,g(x),当x时,g(x)0,若f(x)有两个极值点,只需ym和g(x)的图象在(0,)上有两个交点,只需0m,故m0.16已知f(x)axlnx,
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 自行车转转课件
- 自考专业(护理)练习题附完整答案详解(名校卷)
- 2024-2025学年度医学检验(中级)试卷及参考答案详解(达标题)
- 2025年山西省侯马市中考数学考试黑钻押题【考试直接用】附答案详解
- 2024年安全员考试题库检测试题打印【培优】附答案详解
- 自流井安全培训课件
- 2025年事业单位工勤技能考试考试历年机考真题集及参考答案详解【典型题】
- 2024-2025学年公务员(国考)经典例题及完整答案详解(名师系列)
- 2024年江西省庐山市中考物理基础强化(完整版)附答案详解
- 2024年职称计算机题库试题带答案详解(A卷)
- 2025年秋青岛版(2024)小学科学二年级上册教学计划及进度表(2025-2026学年第一学期)
- 《公民意味着什么》课件
- 2025-2026秋学生国旗下演讲稿:第4周涵养文明习惯点亮成长底色-养成教育
- 2025秋新部编版一年级上册语文教学计划+教学进度表
- DB13-T 6095-2025 水利工程施工图设计文件编制规程
- GB/T 20841-2007额定电压300/500V生活设施加热和防结冰用加热电缆
- 《智慧农业》的ppt完整版
- 新浙教版小学美术一年级上册教学计划及教学目标分解
- 技术研发项目成本核算表
- 水库除险加固工程主体工程完工投入使用验收施工管理工作报告
- 稻茬麦高产、超高产栽培技术
评论
0/150
提交评论