2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教学案 理 新人教A版

9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之间的距离|p1p2|.(2)点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d.(3)两条平行线axbyc10与axbyc20(其中c1c2)间的距离d.概念方法微思考1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)已知直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2为常数)，若直线l1l2，则a1a2b1b20.()(3)点p(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()题组二教材改编2.已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()a.b.2c.1d.1答案c解析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.已知p(2，m)，q(m，4)，且直线pq垂直于直线xy10，则m_.答案1解析由题意知1，所以m42m，所以m1.4.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.答案9解析由得所以点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.题组三易错自纠5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()a.2b.3c.2或3d.2或3答案c解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选c.6.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.答案解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.两条直线的平行与垂直例1(2019包头模拟)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()a.1b.2c.0或2d.1或2答案d解析方法一直线l1：(a1)x2y10的斜率存在.又l1l2，a1或a2，又两条直线在y轴上的截距不相等.a1或a2时满足两条直线平行.方法二由a1b2a2b10得，(a1)a120，解得a1或a2.由a1c2a2c10，得(a1)3110.所以a1或a2.本例中，若l1l2，则a_.答案解析方法一1，解得a.方法二由a1a2b1b20得(a1)12a0.解得a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1(1)已知直线l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，则实数a的值为()a.b.0c.或0d.2答案c解析若a0，则由l1l2，故2a21，即a；若a0，l1l2，故选c.(2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210垂直，则a_.答案解析由a1a2b1b20得a2(a1)0，解得a.两直线的交点与距离问题1.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.答案解析由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.2.若p，q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|pq|的最小值为()a.b.c.d.答案c解析因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|pq|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|pq|的最小值为.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点p(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为a(a，82a)，则由题意知，点a关于点p的对称点b(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点a(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图，已知a(4，0)，b(0，4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是()a.3b.6c.2d.2答案c解析直线ab的方程为xy4，点p(2，0)关于直线ab的对称点为d(4，2)，关于y轴的对称点为c(2，0)，则光线经过的路程为|cd|2.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.答案x2y30解析设所求直线上任意一点p(x，y)，则p关于xy20的对称点为p(x0，y0)，由得点p(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点p(x，y)关于q(a，b)的对称点p(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点为a(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2(1)坐标原点(0，0)关于直线x2y20对称的点的坐标是()a.b.c.d.答案a解析设对称点的坐标为(x0，y0)，则解得即所求点的坐标是.(2)(2020宝鸡模拟)光线沿着直线y3xb射到直线xy0上，经反射后沿着直线yax2射出，则有()a.a，b6b.a3，bc.a3，bd.a，b6答案d解析由题意，直线y3xb与直线yax2关于直线yx对称，所以直线yax2上的点(0，2)关于直线yx的对称点(2，0)在直线y3xb上，所以(3)(2)b0，所以b6，所以直线y3x6上的点(0，6)关于直线yx的对称点(6，0)在直线yax2上，所以6a20，所以a.(3)直线l：xy20关于直线3xy30对称的直线方程是_.答案7xy220解析由得两直线的交点为m，该点也在所求直线上，在l上任取一点p(0，2)，设它关于直线3xy30的对称点为q(x0，y0)，则有解得q(3，1)且在所求直线上.kmq7，所求直线方程为y17(x3)，即7xy220.在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程.解题方法因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).解由题意，可设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线l过点(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线a1xb1yc10与a2xb2yc20垂直的充要条件为a1a2b1b20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.例2求经过点a(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解题方法依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yc0，又直线过点a(2，1)，所以有221c0，解得c0，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于3x4y70的直线方程为_.解题方法可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.答案4x3y90解析方法一由方程组解得即两直线的交点坐标为，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得两直线交点坐标为，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又所求直线与直线3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()a.平行b.垂直c.相交但不垂直d.不能确定答案c解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k2，则k1k2，且k1k21.故选c.2.设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件.3.已知直线l过点(0，7)，且与直线y4x2平行，则直线l的方程为()a.y4x7b.y4x7c.y4x7d.y4x7答案d解析过点(0，7)且与直线y4x2平行的直线方程为y74x，即直线l的方程为y4x7，故选d.4.若mr，则“log6m1”是“直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析由log6m1得m，若l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m0或m，则“log6m1”是“直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行”的充分不必要条件.故选a.5.若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()a.12b.2c.0d.10答案a解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20上，得p2，垂足坐标为(1，2).又垂足在直线2x5yn0上，得n12.6.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()a.b.4c.d.2答案c解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.7.点m(1，0)关于直线x2y10的对称点m的坐标是_.答案解析过点m(1，0)与直线x2y10垂直的直线方程为2xy2，可解得两垂直直线的交点坐标为n，则点m(1，0)关于点n的对称点坐标为m.8.直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是_.答案3x4y50解析在所求直线上任取一点p(x，y)，则点p关于x轴的对称点p(x，y)在已知直线3x4y50上，所以3x4(y)50，即3x4y50.9.(2020唐山模拟)已知点a(3，4)，b(6，3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_.答案或解析由点到直线的距离公式得，解得a或.10.已知入射光线经过点m(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点n(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_.答案6xy60解析设点m(3，4)关于直线l：xy30的对称点为m(a，b)，则反射光线所在直线过点m，所以解得a1，b0.又反射光线经过点n(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.11.设一直线l经过点(1，1)，此直线被两平行直线l1：x2y10和l2：x2y30所截得线段的中点在直线xy10上，求直线l的方程.解方法一设直线xy10与l1，l2的交点为c(xc，yc)，d(xd，yd)，则c(1，0).d.则c，d的中点m为.又l过点(1，1)，由两点式得l的方程为，即2x7y50为所求方程.方法二与l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为x2y0，即x2y20.由得m.(以下同方法一)方法三过中点且与两直线平行的直线方程为x2y20，设所求方程为(xy1)(x2y2)0，(1，1)在此直线上，111(122)0，3，代入所设得2x7y50.方法四设所求直线与两平行线l1，l2的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x1x2)2(y1y2)40.又a，b的中点在直线xy10上，10.解得(以下同方法一)12.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点p(2，2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点p的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为m(2，2).(2)证明过p作直线的垂线段pq，由垂线段小于斜线段知|pq|pm|，当且仅当q与m重合时，|pq|pm|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，m与q不可能重合，而|pm|4，|pq|4，故所证成立.13.若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()a.b.c.2d.2答案a解析联立解得x1，y2.把(1，2)代入m