2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其应用教学案 理 新人教A版

8.5空间向量及其应用最新试验纲试验性地分析1 .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2 .能够把握空间向量的线性运算及其坐标表现，并判断向量的共线性3 .能够掌握空间向量的整数积及其坐标显示，并使用向量的整数积来判断向量的垂直本节是空间向量的基础内容，涉及空间正交坐标系、与空间向量有关的概念、定理、公式以及4种运算等内容。 一般而言，简单的几何作为载体表现为解答题，考察平行、垂直关系的判断和证明以及空间角的计算，对解答题要求较强的运算能力。1 .关于空间向量的概念名字概念的双曲馀弦值零矢量模为0的向量0单位向量长度(型)为1的向量等向量方向相同、等级相等的向量a=b逆向量方向相反，震级相等的向量a的反向量是-a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重叠的向量ab共同方向性平行于同一平面的向量2 .空间向量中的关系定理(1)共线向量定理空间上两个矢量a和b(b0 )的共线的充分条件是存在唯一的实数以使a=b .(2)共指向量定理公共向量定理的向量式： p=xa yb，其中，x，yr，a，b为非公共线向量(3)空间向量的基本定理如果3个向量a、b、c不是同一个面，对于空间的任意的向量p，以p=xa yb zc、b、c成为空间的一个基础的方式，存在唯一的规则的实际排列x，y，z .3 .空间向量的数乘与算术律(一)数量乘积和相关概念；两个矢量的角度众所周知，两个非零矢量a、b取空间任意点o，设=a、=b时，aob被称为矢量a、b所成的角，记为a、b，其范围为0a、b，a、ba和b相互正交，记为ab .两矢量的数积已知空间两个非零矢量a、b将|a|b|cosa、b称为矢量a、b的数积，记为ab，即ab=|a|b|cosa、b.(2)空间向量数积的算术律(a)b=(ab )交换法则： ab=ba分配律： a(b c)=ab ac4 .空间向量的坐标表示及其应用a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)。向量表示法坐标显示数量乘积甲组联赛a1b1 a2b2 a3b3共通线a=b(b0，r )a1=b1、a2=b2、a3=b3垂直方向ab=0(a0，b0 )a1b1 a2b2 a3b3=0型|a|角度馀弦cosa，b(a0，b0 )cosa，b=5 .空间位置关系的向量表示(1)直线的方向矢量所谓直线的方向矢量，是用与该直线平行(或该直线上)的有向线段表示的矢量，一条直线的方向矢量有无数个.(2)平面法线向量取直线l平面、直线l的方向矢量的话，这个矢量就被称为平面的法线矢量。 显然，平面的法向量有无数，它们是共线向量。(3)位置关系向量表示法直线l1、l2方向矢量分别是n1、n2 .l1l2n1n2n1=n2l1l2n1n2n2=0将直线l方向矢量设为n，将平面的法线矢量设为m .lnmnm=0lnmn=m平面、法线向量分别为n、m .nmn=mnmnm=0对概念方法的思考1 .共线矢量和共面量相同吗？提示不同，平行于同一平面的矢量是共面量。2 .零矢量是否成为基矢量？零矢量与任意一个零矢量共线，与任意两个零矢量共面，所以不能将零矢量作为基矢量.当问题小组考虑到1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“-”)。(1)空间中的任意2个非零矢量a、b齐平(2)向量的数量积运算中，(ab)c=a(bc ) ()(3)对于非零矢量b，如果ab=bc，则a=c.()(4)如果a、b、c、d是空间中的任意4点，则为2222222220000000000652问题组2教材改编2 .如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，m是a1c1与b1d1的交点。=a，=b，=c时，以下向量中与相等的向量为()a.-a b cb.a b cc.-a-b cd.a-b c答案a分析=-)=c (b-a)=-a b c。3 .正四面体abcd的阳离子长度为2、e、f分别为bc、ad的中点，ef的长度为_答案分析|2=2=(2222222222222222226 )=2 2 2 2()=12 22 12 2(12cos120 0 21cos120 )=222222222222222卡卡卡卡卡卡卡问题组3容易出错的自我修复4 .在空间正交坐标系中，已知a (1，2，3 )、b(-2，- 1，6 )、c (3，2，1 )、d (4，3，0 )，直线ab和cd的位置关系为()a .垂直b .平行c .异面d .相交但不垂直答案b从问题的意义出发，分析=(-3，- 3，3 )、=(1，1，-1)222222222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6535.o是空间中的任意点，a、b、c这三点不是共线，=22222222222222222222652答案解析p、a、b、c四点共面222222222222222卡卡卡卡卡卡卡6 .若将、v分别设为两个不同平面、的法线向量，则在=(-2，2，5 )、v=(3，- 2，2 )时，与的位置关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _的v=(4，-4，-10 )的情况下，与的位置关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案 在分析v=(3，- 2，2 )的情况下，由于v=-23 2(-2) 52=0、v，所以；在v=(4，-4，-10 )情况下，v=-2、v，因此成为.空间向量的线性运算如例1图所示，在长方体abcd-a1b1c1d1中，将=a、=b、=c、m、n、p分别设为aa1、bc、c1d1的中点，利用a、b、c表示以下的各向量(1)(2)(3) .解(1)p是c1d1的中点=22222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(2)n是bc的中点=222222222卡卡卡卡卡卡卡6=-a b=-a b c。(3)m是aa1的中点=-a=a b c又=c a=a b c思维升华是用基矢量表示指定矢量的方法(1)组合已知矢量和求出的矢量观察图形。(2)将已知向量和求得的向量变换为三角形或平行四边形。(3)利用三角形法则或平行四边形法则，用已知的基矢量来表现求出的矢量。跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体abcd-a1b1c1d1中，o是ac的中点.用、答案解决-解决()，=()=2222222222222222个6(2)如图所示，在三角锥oabc中，m、n分别在ab、oc的中点，设=a、=b、=c，用a、b、c表示时，等于()a.(-a b c )b.(a b-c )c.(a-b c )d.(-a-b c )答案b分析=-)=- (-)=-=(a b-c )共线定理、共面定理的应用例2如图所示，已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd边ab、bc、cd、da的中点.(1)寻求证据： e、f、g、h四点齐全(2)寻求证据： bd平面efgh(1)证明bg连接，则=()=2222=，从共面定量定理的推理得知e、f、g、h这4点共面(2)因为=-=-=(-)=，ehbdeh平面efgh、bd平面efghbd平面efgh思想升华证明三点共线与空间四点共面的方法比较三点(p、a、b )共线空间的四点(m、p、a、b )齐平=且同一过点p=x y对于空间中的任意点o，=t对于空间中的任意点o，=x y对于空间中的任意点o，=x (1-x )对于空间中的任意点o，=x y (1-x-y )如图所示，已知跟踪训练2满足斜三角柱abca1b1c1、点m、n分别位于