2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.4 幂函数与二次函数教学案 理 新人教A版

2.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的简单应用为主，二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在r上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在r上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0且0.3函数y2x2是幂函数吗？提示不是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)，xm，n的最值一定是.()(2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(4)二次函数yx2mx1在1，)上单调递增的充要条件是m2.()题组二教材改编2已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()a.b1c.d2答案c解析由幂函数的定义，知k1，.k.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()a3，) b(，3c(，3) d(，3答案d解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选d.4函数f(x)x22x3在闭区间0,3上的最大值为_最小值为_答案62解析f(x)(x1)22,0x3，x1时，f(x)min2，x3时，f(x)max6.题组三易错自纠5幂函数f(x)(az)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()a3b4c5d6答案c解析因为a210a23(a5)22，f(x)(az)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)220)，若f(m)”“解析f(x)x2xa图象的对称轴为直线x，且f(1)0，f(0)0，而f(m)0，m(0,1)，m10.幂函数的图象和性质1若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()a(0，) b0，)c(，) d(，0)答案d解析设f(x)x，则2，2，即f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选d.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()adcbababcdcdcabdabdc答案b解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选b.3已知幂函数f(x)(n22n2)(nz)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()a3b1c2d1或2答案b解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选b.4若，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析不等式等价于a132a0或32aa10或a1032a，解得a1或a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除a；若a0，b0，从而4ac；2ab1；abc0；5a4ac，正确；对称轴为直线x1，1，即2ab0，错误；f(1)0，abc0，错误；开口向下，a0，b2a，5a2ab，正确，故正确的结论是.命题点2二次函数的单调性例3(1)函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()a3,0) b(，3c2,0d3,0答案d解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0，又1，a3.(2)二次函数f(x)ax2bxc(xr)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是()af()ff()bff()f()cf()f()fdf()f()|1|1|，f()f()0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当abc，且abc0，则函数f(x)的图象可能是()答案d解析由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除a，c.又f(0)c0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2，当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，则函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)(3)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tr，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tr，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，当t0时，f(x)mint21，当0t1时，f(x)min1，当t1时，f(x)mint22t2.例(1)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，符合题意，ar；当x0时，a2，因为(，11，)，所以当x1时，不等号右边式子取最小值，所以a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则实数a的最大值为_答案2解析令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以1f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，)解析由题意知f(x)在r上是增函数，结合f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立，mt24t2m0，解得m1.4已知a，b，cr，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()aa0,4ab0ba0,2ab0daf(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选a.5已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()a.b.c.d.答案c解析由题意知即得a.6(2019郑州质检)若二次函数yx2ax1对于一切x恒有y0成立，则a的最小值是()a0b2cd3答案c解析设g(x)x2ax1，x，则g(x)0在x上恒成立，即a在x上恒成立又h(x)在x上为单调递增函数，当x时，h(x)maxh，所以a即可，解得a.7已知，若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上单调递减，则_.答案1解析，幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上单调递减，是奇数，且0，1.8已知函数f(x)4x2kx8在1,2上不单调，则实数k的取值范围是_答案(16,8)解析函数f(x)4x2kx8的对称轴为x，则12，解得16k8.9若二次函数y8x2(m1)xm7的值域为0，)，则m_.答案9或25解析y82m782，值域为0，)，m7820，m9或25.10已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足解得m1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.13(2019杭州学军中学模拟)已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)，则函数f(x)在1,3上的值域为()a0,12b.c.d.答案b解析因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，所以f(0)0，所以b0.因为f(x)f(1x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x，所以a1，所以f(x)x2x2，所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故当x时，函数f(x)取得最小值.又f(1)0，f(3)12，故函数f(x)在1,3上的值域为，故选b.14如果函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，那么实数a_.答案1解析因为函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1.15若函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，则实数m的取值范围是_答案2,0解析当0x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，则0，