2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.8 函数与方程课件 理 新人教A版

2.8函数与方程,结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,最新考纲,利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xd)，把使的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)0的根.,知识梳理,f(x)0,x轴,零点,f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),概念方法微思考,函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？,提示不能.,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)0)，g(x)xex，h(x)xlnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则a.x1x2x3b.x2x1x3c.x2x3x1d.x30)的图象，,如图所示，可知选c.,6.若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是a.(1,1)b.1，)c.(1，)d.(2，),解析当a0时，函数的零点是x1，不符合题意.当a0时，若0，f(0)f(1)1.,若0，即a，函数的零点是x2，不符合题意，故选c.,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,函数零点所在区间的判定,题型一,自主演练,1.函数f(x)lnx的零点所在的区间是a.(1,2)b.(2,3)c.(3,4)d.(4,5),解析函数f(x)lnx在(1，)上是增函数，且在(1，)上连续.,因为f(2)ln220，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3).,2.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间a.(a，b)和(b，c)内b.(，a)和(a，b)内c.(b，c)和(c，)内d.(，a)和(c，)内,解析函数yf(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0且a1).当2a30恒成立，,所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.,(2)(2019秦皇岛模拟)函数f(x)的零点个数是_.,3,解析当x0时，作出函数ylnx和yx22x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；,当x0时，由f(x)0，得x.,综上，f(x)有3个零点.,(3)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是a.0b.1c.2d.3,解析方法一f(0)f(1)(1)110，且函数在定义域上单调递增且连续，函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二设y12x，y22x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.,函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1(1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为a.1b.2c.3d.4,易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选c.,(2)函数f(x)|x|cosx在(，)内的零点个数为a.0b.1c.2d.无穷多个,解析求解方程|x|cosx在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数h(x)|x|和g(x)cosx在(，)内的交点个数问题.h(x)|x|和g(x)cosx的图象如图所示，,显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.,函数零点的应用,题型三,多维探究,命题点1根据函数零点个数求参数,(2)(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是a.1,0)b.0，)c.1，)d.1，),解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点.由图知a1，a1.,命题点2根据函数零点的范围求参数,例3(1)若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_.,解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，,(2)(2019昆明模拟)已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，则a的取值范围为_.,解析由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，,根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2(1)方程有解，则a的最小值为_.,1,解析若方程有解，,故a的最小值为1.,(2)(2020岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k有3个零点，则实数k的取值范围是a.(1,3b.3,1c.1,2)d.2,1),解析令x21(4x)1，得x2或x3，令x21(4x)1，得2x3，,作出函数f(x)的图象，如图所示.,函数yf(x)k有3个零点，等价于函数yf(x)的图象与直线yk有3个交点，根据函数图象可得10，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.即方程有2个解.,(2)若函数f(x)|logax|2x(a0且a1)的两个零点是m，n，则a.mn1b.mn1c.0mn1d.以上都不对,所以0mn1)在区间(2,6内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是,解析f(x)为偶函数，故f(2x)f(x2)，f(x2)f(x2)，故f(x)的周期为4，,故f(x)在(2,6上的图象如图所示，,f(x)loga(x2)0有3个不同的解，f(x)的图象与yloga(x2)的图象有3个不同的交点，,解得ab，cd.若f(x)2019(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是a.acbdb.abcdc.cdabd.cabd,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析f(x)2019(xa)(xb)，又f(a)f(b)2019，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知cabd，故选d.,8.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，,f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30时，由f(x)lnx0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点.令f(x)0，得a2x.因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是(0,1.,10.(2020杭州学军中学模拟)已知函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，,1m2，m1，故m的取值范围是(，1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)作出函数f(x)的图象；,解函数f(x)的图象如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故f(x)在(0,1上是减函数，在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，,(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由函数f(x)的图象可知，当00,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,函数h(x)2x在(1，)上单调递增，故函数f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在(1，)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x)0，又x1(1，x0)，x2(x0，)，f(x1)0.故选b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方程xf(x)k有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数g(x)的图象与直线yk有三个不同的交点，结合图象知04.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即x1x24.,拓展冲刺练,15.已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3，),解析在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象