2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教A版

,8.2空间点、直线、平面之间的位置关系,1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,最新考纲,主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.四个公理公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,直线直线,异面直线：不同在一个平面内，没有公共点,2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类,任何,平行,相交,共面直线,(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围：.,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有、_三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,平行,相交,两边分别对应平行,1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？,概念方法微思考,提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.,2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？,提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线.()(3)没有公共点的两条直线是异面直线.()(4)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线.(),基础自测,题组一思考辨析,2.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线b1c与ef所成角的大小为a.30b.45c.60d.90,题组二教材改编,解析连接b1d1，d1c(图略)，则b1d1ef，故d1b1c即为所求的角.又b1d1b1cd1c，b1d1c为等边三角形，d1b1c60.,3.如图，在三棱锥abcd中，e，f，g，h分别是棱ab，bc，cd，da的中点，则(1)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为菱形；,acbd,解析四边形efgh为菱形，efeh，acbd.,(2)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为正方形.,acbd且acbd,解析四边形efgh为正方形，efeh且efeh，,acbd且acbd.,4.(2019上海市金山中学月考)设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么a.直线l不平行于直线mb.直线l与直线m异面c.直线l与直线m没有公共点d.直线l与直线m不垂直,题组三易错自纠,解析直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，故选c.,解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.,5.已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是a.相交或平行b.相交或异面c.平行或异面d.相交、平行或异面,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面的对数为_.,3,解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则ab，cd，ef和gh在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行.故互为异面直线的有且只有3对.,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,平面基本性质的应用,题型一,师生共研,例1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab和aa1的中点.求证：(1)e，c，d1，f四点共面；,证明如图，连接ef，cd1，a1b.e，f分别是ab，aa1的中点，efba1.,又a1bd1c，efcd1，e，c，d1，f四点共面.,(2)ce，d1f，da三线共点.,证明efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，如图所示.则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da，ce，d1f，da三线共点.,共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.证两平面重合.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,思维升华,siweishenghua,证明e，f分别为ab，ad的中点，efbd.,跟踪训练1如图，在空间四边形abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，g，h分别在bc，cd上，且bggcdhhc12.(1)求证：e，f，g，h四点共面；,ghbd，efgh.e，f，g，h四点共面.,(2)设eg与fh交于点p，求证：p，a，c三点共线.,证明egfhp，peg，eg平面abc，p平面abc.同理p平面adc.p为平面abc与平面adc的公共点.又平面abc平面adcac，pac，p，a，c三点共线.,判断空间两直线的位置关系,题型二,师生共研,例2(1)是一个平面，m，n是两条直线，a是一个点，若m，n，且am，a，则m，n的位置关系不可能是a.垂直b.相交c.异面d.平行,解析依题意，ma，n，m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.,(2)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别在a1d，ac上，且a1e2ed，cf2fa，则ef与bd1的位置关系是a.相交但不垂直b.相交且垂直c.异面d.平行,解析连接d1e并延长，与ad交于点m，由a1e2ed，可得m为ad的中点，连接bf并延长，交ad于点n，因为cf2fa，可得n为ad的中点，所以m，n重合，所以ef和bd1共面，,所以efbd1.,空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是a.l与l1，l2都不相交b.l与l1，l2都相交c.l至多与l1，l2中的一条相交d.l至少与l1，l2中的一条相交,解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选d.,(2)如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c的中点，有以下四个结论：直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线am与dd1是异面直线.,其中正确的结论为_.(注：把你认为正确的结论序号都填上),解析因为点a在平面cdd1c1外，点m在平面cdd1c1内，直线cc1在平面cdd1c1内，cc1不过点m，所以am与cc1是异面直线，故错；取dd1中点e，连接ae(图略)，则bnae，但ae与am相交，故错；因为b1与bn都在平面bcc1b1内，m在平面bcc1b1外，bn不过点b1，所以bn与mb1是异面直线，故正确；同理正确，故填.,求两条异面直线所成的角,题型三,师生共研,例3(2020青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab2，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为,解析连接bc1，易证bc1ad1，则a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角.连接a1c1，由ab1，aa12，,引申探究,ab1，aa1t.,用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练3(2017全国)已知直三棱柱abc-a1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为,解析方法一将直三棱柱abca1b1c1补形为直四棱柱abcda1b1c1d1，如图所示，连接ad1，b1d1，bd.由题意知abc120，ab2，bccc11，,图,在abd中，由余弦定理知bd2ab2ad22abadcosdab2212221cos603，,又ab1与ad1所成的角即为ab1与bc1所成的角，,故选c.,方法二以b1为坐标原点，b1c1所在的直线为x轴，垂直于b1c1的直线为y轴，bb1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.,图,故选c.,课时精练,基础保分练,1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为a.4b.3c.2d.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是a.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面b.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交c.若ab，则a，b与c所成的角相等d.若ab，bc，则ac,解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知c正确.故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.如图所示，平面平面l，a，b，abld，c，cl，则平面abc与平面的交线是a.直线acb.直线abc.直线cdd.直线bc,解析由题意知，dl，l，所以d，又因为dab，所以d平面abc，所以点d在平面abc与平面的交线上.又因为c平面abc，c，所以点c在平面与平面abc的交线上，所以平面abc平面cd.,4.如图所示，abcda1b1c1d1是长方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确是a.a，m，o三点共线b.a，m，o，a1不共面c.a，m，c，o不共面d.b，b1，o，m共面,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析连接a1c1，ac(图略)，则a1c1ac，a1，c1，a，c四点共面，a1c平面acc1a1，ma1c，m平面acc1a1，又m平面ab1d1，m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，同理a，o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上.a，m，o三点共线.,5.(2019甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考)在四棱锥pabcd中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，o是p在平面abcd内的射影，m是pc的中点，则异面直线op与bm所成角为a.30b.45c.60d.90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，由题意可知o是正方形abcd的中心，取n为oc的中点，连接mn，所以opmn，则bmn是异面直线op与bm所成的角.因为op平面abcd，所以mn平面abcd，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则异面直线op与bm所成的角为60.故选c.,6.正方体ac1中，与面abcd的对角线ac异面的棱有_条.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，在正方体ac1中，与面abcd的对角线ac异面的棱有bb1，dd1，a1b1，a1d1，d1c1，b1c1，共6条.,6,7.(2020东北三省三校模拟)若直线l平面，平面平面，则直线l与平面的位置关系为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,l或l,解析直线l平面，平面平面，直线l平面，或者直线l平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在三棱锥sabc中，g1，g2分别是sab和sac的重心，则直线g1g2与bc的位置关系是_.,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图所示，连接sg1并延长交ab于m，连接sg2并延长交ac于n，连接mn.,g1g2mn，易知mn是abc的中位线，mnbc，g1g2bc.,9.如图，已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形，c是圆柱下底面弧ab的中点，c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析取圆柱下底面弧ab的另一中点d，连接c1d，ad，因为c是圆柱下底面弧ab的中点，所以adbc，所以直线ac1与ad所成的角即为异面直线ac1与bc所成的角，因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，所以c1d垂直于圆柱下底面，所以c1dad.,10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：abef；ab与cm所成的角为60；ef与mn是异面直线；mncd.以上四个命题中，正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，abef，正确；显然abcm，所以不正确；ef与mn是异面直线，所以正确；mn与cd异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.,11.如图所示，a是bcd所在平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点.(1)求证：直线ef与bd是异面直线；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a，b，c，d在同一平面内，这与a是bcd所在平面外的一点相矛盾.故直线ef与bd是异面直线.,(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解取cd的中点g，连接eg，fg，则acfg，egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角.又因为acbd，则fgeg.,即异面直线ef与bd所成的角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)三棱锥pabc的体积；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值.,解如图，取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面平面直线l，点a，c，点b，d，且a，b，c，dl，点m，n分别是线段ab，cd的中点，则下列说法正确的是a.当|cd|2|ab|时，m，n不可能重合b.m，n可能重合，但此时直线ac与l不可能相交c.当直线ab，cd相交，且acl时，bd可与l相交d.当直线ab，cd异面时，mn可能与l平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析a选项：当|cd|2|ab|时，若a，b，c，d四点共面且acbd时，则m，n两点能重合，可知a错误；b选项：若m，n可能重合，则acbd，故acl，此时直线ac与直线l不可能相交，可知b正确；c选项：当ab与cd相交，直线acl时，直线bd与l平行，可知c错误；d选项：当ab与cd是异面直线时，mn不可能与l平行，可知d错误.故选b.,14.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且acbc4，acb90，f，g分别是线段ae，bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析取de的中点h，连接hf，gh.,gfh为异面直线ad与gf所成的角(或其补角).,15.(2019江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学联考)如图，已知多面体pabcde的底面abcd是边长为1的正方形，pa平面abcd，edpa，且paedab，现将cde以直线de为轴旋转一周后，则直线bp与动直线ce所成角的范围是_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图所示，将pb平移到eb1的位置，c1点在以d为圆心，半径为1的圆上运动.则b1ec1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，eb1，ec1为定值，故最值由b1c1来确定，故当c1在