2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其应用课件 理 新人教A版

,8.5空间向量及其应用,1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直.,最新考纲,本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.空间向量的有关概念,0,1,知识梳理,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p，其中x，yr，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得p，a，b，c叫做空间的一个基底.,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，则aob叫做向量a，b的夹角，记作，其范围是，若a，b则称a与b，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即.,a，b,0a，b,互相垂直,|a|b|cosa，b,ab,ab|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律(a)b.交换律：ab.分配律：a(bc).,(ab),ba,abac,4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.,(3),1.共线向量与共面向量相同吗？2.零向量能作为基向量吗？,提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.,概念方法微思考,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)若a，b，c，d是空间任意四点，则有(),基础自测,题组一思考辨析,题组二教材改编,3.正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad的中点，则ef的长为_.,1222122(12cos120021cos120)2，,4.在空间直角坐标系中，已知a(1,2,3)，b(2，1,6)，c(3，2,1)，d(4,3,0)，则直线ab与cd的位置关系是a.垂直b.平行c.异面d.相交但不垂直,又ab与cd没有公共点，abcd.,题组三易错自纠,解析p，a，b，c四点共面，,6.设，v分别是两个不同平面，的法向量，(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,解析当v(3，2,2)时，v232(2)520，v，所以；当v(4，4，10)时，v2，v，所以.,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,例1如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,解p是c1d1的中点，,空间向量的线性运算,题型一,师生共研,解n是bc的中点，,解m是aa1的中点，,用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.,思维升华,siweishenghua,例2如图，已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点.(1)求证：e，f，g，h四点共面；,证明连接bg，,共线定理、共面定理的应用,题型二,师生共研,由共面向量定理的推论知e，f，g，h四点共面.,(2)求证：bd平面efgh.,所以ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，所以bd平面efgh.,证明三点共线和空间四点共面的方法比较,思维升华,siweishenghua,(2)直线mn是否与平面abb1a1平行？,解当k0时，点m，a重合，点n，b重合，mn在平面abb1a1内，当0k1时，mn不在平面abb1a1内，,mn平面abb1a1.综上，当k0时，mn在平面abb1a1内；当0k1时，mn平面abb1a1.,例3如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f，g分别是ab，ad，cd的中点.(1)求证：egab；,空间向量数量积及其应用,题型三,师生共研,(2)求eg的长；,(3)求异面直线ag和ce所成角的余弦值.,(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a|将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练3如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,b2a2acbc1，,例4如图所示，在四棱锥pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成30的角.求证：(1)cm平面pad；,向量法证明平行、垂直,题型四,师生共研,证明以c为坐标原点，cb为x轴，cd为y轴，cp为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.pc平面abcd，pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc30.,设n(x，y，z)为平面pad的一个法向量，,又cm平面pad，cm平面pad.,(2)平面pab平面pad.,设平面pab的一个法向量m(x0，y0，z0)，,平面pab平面pad.,方法二如图，取ap的中点e，连接be，,pbab，bepa.,又padaa，pa，da平面pad，be平面pad.又be平面pab，平面pab平面pad.,(1)用向量证明平行的方法线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量.线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.面面平行，证明两平面的法向量是共线向量.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直.线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直.,思维升华,siweishenghua,(1)a1b1平面aa1c；,证明由二面角a1abc是直二面角，四边形a1abb1为正方形，可得aa1平面bac.,cab90且caab，ab，ac，aa1两两互相垂直.以a为坐标原点，ac，ab，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设ab2，则a(0,0,0)，b(0,2,0)，a1(0,0,2)，c(2,0,0)，c1(1,1,2)，b1(0，2,2).,设平面aa1c的一个法向量n(x，y，z)，,a1b1平面aa1c.,(2)ab1平面a1c1c.,设平面a1c1c的一个法向量m(x1，y1，z1)，,令x11，则y11，z11，即m(1，1,1).,又ab1平面a1c1c，ab1平面a1c1c.,课时精练,1.已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，b则x等于a.(0,3，6)b.(0,6，20)c.(0,6，6)d.(6,6，6),得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20).,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为,解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为,解析abx23，x1，b(1,1,2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是a.0b.1c.2d.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如图，在大小为45的二面角aefd中，四边形abfe，cdef都是边长为1的正方形，则b，d两点间的距离是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则_.,解析由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,8.已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.,解得x2，y4，此时a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3，2,2),平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又va平面pmn，va平面pmn.,10.已知abcda1b1c1d1为正方体，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,其中正确的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d，e分别为棱ab，bb的中点.(1)求证：cead；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明方法一cc平面abc且cacb，以点c为原点，分别以ca，cb，cc所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略).令acbcaa2，则a(2,0,0)，b(0,2,0)，c(0,0,2)，a(2,0,2)，b(0,2,2)，e(0,2,1)，d(1,1,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据题意得|a|b|c|，且abbcca0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求证：ae平面bcf；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明取bc中点h，连接oh，则ohbd，又四边形abcd为正方形，acbd，ohac，故以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，,设平面bcf的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又四边形bdef为平行四边形，,又ae平面bcf，ae平面bcf.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求证：cf平面aef.,又aeafa，ae，af平面aef，cf平面aef.,a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不确定,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,amad，amd为直角三角形.,1,2