七年级数学下册 第九章《三角形》9.2 三角形的内角和外角 从三角形内角和想起素材 （新版）冀教版

从三角形内角和想起“三角形的内角和是多少度？”“180。”“怎么想到？”“可以动手实验一下：把三角形的三个角撕下来，凑在一起，恰好构成一个平角。”上面的方法很好。它提醒我们：实验一下，不失为探索某些数学问题的一种方法。一说到实验，人们容易想到动手是必不可少的。其实，还有一种实验，却丝毫不用动手，那就是“思维实验”，即仅凭脑子想象的实验。历史上，不少大科学家（如伽利略、爱因斯坦）都曾成功地运用过这种方法。对于abc，我们可以做如下思维实验：将顶点a沿图中箭头方向bc压去。在a不断靠近bc的过程中，b.c逐渐减小，越来越接近0；a逐渐增大，越来越接近180。一旦a落到bc上，则b.c均变为0，a则变为180。在此特殊的“abc”中，其内角和恰为180。这一过程，使我们有理由猜测：abc的内角和应为180。不难证明，这一猜测是正确的。其实，在图形变化过程中，问题的本质（三角形内角和）并没变化，所以其结论的正确应是在意料之中的。“想”，是最重要的学习方法。让我们从上述的“实验”继续想下去：不采取把a压向bc的方法，可以吗？可以！比如，a，b不动，把c沿bc方向拉向无穷远。结果。形成acbc的局面。这时，cab与abc成为同旁内角，acb变成了0，三者之和仍为180。再想：还可以有别的变法吗？有！在这里，“想象”有极其广阔的天地可以驰骋！请你自己试试。关于“三角形内角和”的探讨告一段落之后，自然还应该“想”：此招能否推广到四边形、五边形，以至其他图形？经过不太复杂的实验，你会发现：行！下面举几个例子。例1 图2中，凸四边形abcd的内角和是多少？将b.c都压到ad所在直线上，则a.c变为180，b.d均变为0。它们的和为360，与其他方法得到的结论一致。如果把a.c都压到直线bd上，可以吗？可以。对于其他凸多边形的情况，同样可以照此办理。例2 图3中，1，2，3，4，5之和是多少？将ac.ad变化，使之重合（如图4）。从图4可知，1变成0，而2+3+4+5=180。所以1+2+3+4+5=180。若将a，c，d三点均压到be上，同样可以得到这一结论。例3 图5中，1+2+7的度数是 a.450b.540c.630d.720解法1 7个角的度数，可由abc的内角和，加上四边形cdef及bghp的内角和，再减去两个平角abg与acf，即180+23602180= 540。故应选b。解法2 将图形压缩到fe所在直线上，则3，5，4，7均变成0。而 1，2，6均变成180。故7个角的和为540，应选（b）。例4 平面上的6个点 a，b，c，d，e，f构成如图6所示图形。那么，有“”的6个角的和是 a.180 b.360c.540 d.上述（a）（b）（c）都不对。解法1 所求6个角的和等于abg、cdi、efh的内角和，减去ghi的内角和。所以，其度数为3180-180=360。故应选（b）。解法2 将图形压缩到cd直线上，则a.d.c.f均变成0，而b.e均变成180。所以，总和为40+2180=360。应选（b）。看来，这种方法，灵！欣赏，是学习的一个重要阶段，但欣赏之余，仍然应该不停地“想”！比如，想到“想象”威力之巨大。今后学习中，要有意识地多运用一下“想象”，多搞点“思维实验”。比如，想到自己用过的行之有效的招”，要努力把它一般化，使之成为一种方法，用在其他的地方。比如，更一般来看，想到这实际是特殊化方法的运用，而且是一种利用“极端”的特殊化方法。比如，想到这种方法的特点在于抓住了“变中的不变”。即图形变了但其内角和并没变。由此